si $\sum a_n$ es una serie divergente de términos positivos entonces también lo es $\sum \sqrt{a_n}$

Question

Aquí está mi intento:

Supongamos que $(a_n)$ no está acotado. Entonces $(\sqrt{a_n})$ tampoco estará acotado. Por lo tanto, $\sum \sqrt{a_n}$ es divergente. Ahora bien, si $(a_n)$ está acotado, entonces para todo $n$ , $a_n < M$ para algunos $M>0$ . Entonces $\frac{a_n}{M} < \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{M}}$ para todos $n$ . Desde, $\sum a_n$ diverge, también debe hacerlo $\sum \sqrt{a_n}$ por la prueba de comparación.

¿Es una prueba válida? Las pruebas alternativas son bienvenidas.

Answer 1

Suponemos series con términos positivos, por lo que la convergencia es también convergencia absoluta.

$\sum b_n$ converge $\implies b_n\to 0$ y en particular $b_n<1$ para $n\gg 1$ lo suficientemente grande.

Multiplicando por $b_n$ obtenemos ${b_n}^2<b_n$ así $\sum {b_n}^2$ también converge.

Por contraposición $\sum {b_n}^2$ diverge $\implies \sum b_n$ diverge.

Solicitar a $b_n=\sqrt{a_n}$ .

Answer 2

Utiliza la prueba de comparación y observa que: $\sqrt{a_n}= \dfrac{a_n}{\sqrt{a_n}}\ge \dfrac{a_n}{\sqrt{M}}$ donde $M>0$ es el límite superior de $a_n$ en el caso de que $a_n$ está acotado. El caso no acotado ya se menciona en su análisis.

Answer 3

Definamos $b_k = \sum_{n = 0}^{k}a_n$ . Entonces $b_k\to\infty$ y $\sqrt{b_k}\to\infty$ . Tenemos que $\sqrt{x+y} < \sqrt{x}+\sqrt{y}$ . Así que: $$\sqrt{b_k} = \sqrt{\sum_{n = 0}^{k}a_n} < \sum_{n = 0}^{k}\sqrt{a_n} \implies$$ $$\sum_{n = 0}^{k}\sqrt{a_n}\to\infty$$