Convergencia conjunta en la distribución

Question

Tengo una pregunta sobre la convergencia en la distribución de variables aleatorias: Sea $X_n \rightarrow X$ y $Y_n \rightarrow Y$ para $n \to \infty$ donde $\rightarrow$ denota la convergencia en la distribución. Además, supongamos que $X_n$ y $Y_n$ ser independiente para todos $n$ y también $X$ y $Y$ son independientes. ¿Tiene $(X_n,Y_n) \rightarrow (X,Y)$ (lo que significa que la distribución conjunta también converge)?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Sí, porque si miramos la función característica conjunta:

$$Ee^{i(uX_n + vY_n)} = Ee^{iuX_n}Ee^{ivY_n} \to Ee^{iuX}Ee^{ivY} = Ee^{i(uX + vY)}$$