Mínimos de $-g(x)\cos(2 \pi h(x))$ ?

Question

Dejemos que $f(x) = -g(x)\cos(2 \pi h(x))$ , donde $h(x)$ y $g(x)$ son a la vez funciones continuas e invertibles.

Sea la "cuenca de atracción" de un mínimo de $f(x)$ se definirá como el conjunto de puntos que conducen a ese mínimo cuando se realiza el descenso de gradiente se realiza el descenso de gradiente. Básicamente, la región alrededor de los mínimos en la que si se "deja pasar una bola", ésta "rodaría" hacia los mínimos. (No sé cómo explicarlo mejor explicarlo, si esto es confuso o ambiguo hágamelo saber).

Por último, dejemos que $L(f(x))$ sea una función que devuelva los mínimos locales de la cuenca de atracción de x.

Por ejemplo, si $f(x) = -\cos(2\pi x)$ entonces los mínimos se dan en coordenadas enteras por lo que $L(f(x)) = round(x)$ .

Si $x = 0.4$ entonces $L(f(0.4)) = round(0.4) = 0$ . Si se realizara el descenso de gradiente a 0,4, se llegaría a 0.

Estoy tratando de averiguar cómo hacer que esto funcione para $f(x) = -g(x)\cos(2\pi h(x))$ .

Sin el $g(x)$ es simple y $L(f(x)) = h^{-1}(round(h(x)))$ porque $h(x)$ es invertible.

Sin embargo, con la $g(x)$ Estoy perplejo. ¿Cómo puedo averiguar $L(f(x))$ para eso? En otras palabras, ¿cómo puedo predecir dónde están los mínimos y sus cuencas de atracción?

Sé que $f'(x) = 2\pi g(x) h'(x) \sin(2\pi h(x)) - g'(x) \cos(2\pi h(x))$ y las mínimas llegan cuando $f'(x) = 0$ . ¿Cuáles son las condiciones necesarias para $g(x)$ de manera que podamos predecir los mínimos de $f(x)$ ?

Cualquier ayuda es muy, muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Por el contexto de tu pregunta creo que estás asumiendo que $g(x), h(x)$ son continuas y diferenciables en $\mathbb{R}$ y $g(x), h(x)\neq0$ . Entonces podemos tratar de resolver esto.

Para su expresión, se puede descubrir fácilmente que $g(x)$ controla el valor del máximo y del mínimo local, $h(x)$ controla el periodo para el que aparecen los mínimos locales.

1) Resuelve todos los puntos estacionarios: $$f'(x)=0$$ Por lo tanto tenemos una secuencia de solución, denotémosla $(x_n)$ .

Caso (i): Supongamos que $g(x)$ es una función par.

$x_0=\pm c$ . Seleccione $(x_{n_m})$ s.t. $S=\{x_{n_m}:n_m=2m, m\in\mathbb{Z\}}\subset X=\{x_n:f'(x_n)=0\}$ y $T=\{x_{n_k}:n_k=2k-1, k\in\mathbb{Z}\}\subset X=\{x_n:f'(x_n)=0\}$ (una definición extraña para las secuencias)

O bien $S$ o $T$ es el conjunto de mínimos. Como esta parte $cos(2\pi h(x))$ debe ser periódica, Entonces sólo tenemos que identificar si $h(x_i)=1$ es un mínimo.

(Elijo estos enteros porque solían ser los máximos o mínimos locales, ya que $h(x)$ cambia el patrón de $x$ , apliquemos $h^{-1}(x)$ para recuperarlos, así que ahora son fáciles de seguir).

Si es así, entonces $$Maxima=h^{-1}(i+\dfrac{1}{2}),i\in\mathbb{Z}\implies L(f(x))=h^{-1}(i), for(h^{-1}(i-\dfrac{1}{2})\le x<h^{-1}(i+\dfrac{1}{2}))$$ Si no, entonces $$Maxima=h^{-1}(i),i\in\mathbb{Z}\implies L(f(x))=h^{-1}(i-\dfrac{1}{2}), for(h^{-1}(i)>x\ge h^{-1}(i-1))$$

Podemos hacerlo porque $h(x)$ es invertible.

Para esos puntos en el intervalo $(-1,1)$ Tenemos que resolver sus valores.

Sin embargo, cuando $g(x)= 0$ esto fallará, hay que investigar específicamente en ese punto.

Lo siento, no hay espacio suficiente para hablar de las funciones de impar, pero son similares, cuando $g(x)$ es una función impar, el patrón para $min<0$ es lo mismo que $max>0$ mientras que estas dos son iguales en el caso de las funciones pares.

Dado que otras funciones son la combinación de impar y función par, puede dividirlas y rastrear la suma mínima local al final.