Triángulo isósceles con altura limitada a cero

Question

La figura muestra un triángulo isósceles $ABC$ con $\angle B = \angle C$ . La bisectriz del ángulo $B$ se cruza con el lado $AC$ en el punto $P$ . Supongamos que la base $BC$ permanece fija pero la altitud $|AM|$ del triángulo se acerca $0$ Así que $A$ se acerca al punto medio $M$ de $BC$ . Lo que sucede con $P$ durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela.

He intentado relacionar $P$ y $A$ de algunas maneras (la ley de los cosenos es una de ellas) pero no consigo encontrar algo que me dé una ecuación para la posición de P.

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Cuando $A\to M$ , $P$ se acerca a la mentira en $BC$ . Ahora sólo tenemos que encontrar el límite de $CP$ como $AC\to \frac{BC}{2}$ .

Pista: Utiliza el Teorema de la Bisectriz del Ángulo para encontrar $CP$ en términos de $AC$ y $BC$ .

Answer 2

Tomando $B=(0,0)$ y $C=(0,1)$ deja $A=\frac12(1,\tan\beta)$ , donde $\beta$ es la esquina en $B$ . Ecuaciones simples me dan que el punto $P$ tiene coordenadas $(x_0,y_0)$ , donde

$$x_0=\frac{\tan\alpha}{\tan\frac\alpha2 + \tan\alpha}$$ por lo que es fácil calcular el límite de $x_0$ como $\alpha\to0.$

Answer 3

Tomemos M como origen, B como $(-x, 0)$ C como $(x, 0)$ . Sea t el tan del ángulo PBC. Entonces A = $(\frac{2t}{1-t^2},0)$ . Resolviendo las ecuaciones pertinentes se obtiene la coordenada x de P como $\frac{(1+t^2)x}{3-t^2}$ . A medida que t va a 0 esto va a $x/3$ .