Singularidades de $f(z)=\frac{z^4}{\cos(z^2)-1}$

Question

Tengo dificultades para clasificar las singularidades aisladas de la función

$$f(z)=\frac{z^4}{\cos(z^2)-1}.$$

La función $f$ es indefinido cuando el denominador es igual a $0$ Es decir

$$\cos(z^2)-1=0 \iff \cos(z^2)=1 \iff z^2 = 2\pi n \iff z = \pm\sqrt{2\pi n}, \; n\in \mathbb{Z}.$$

Así que $f(z)$ tiene singularidades aisladas en cada punto $z=\pm\sqrt{2\pi n}, \; n\in \mathbb{Z}$ .

Obviamente no puedo tomar la serie Laurent de $f$ alrededor de cada singularidad para determinar su naturaleza, así que ¿cómo continúo desde aquí?

Answer 1

Considere la función más fácil $g(z)=\dfrac{z^2}{\cos z-1}$ Así que $f(z)=g(z^2)$ .

Para $g$ la singularidad en el origen es removible, porque $$ \lim_{z\to0}g(z)=-2 $$ Para examinar las singularidades en $2k\pi$ para $k$ un número entero, $k\ne0$ Considera que $$ \lim_{z\to2k\pi}\frac{z^2(z-2k\pi)^2}{\cos z-1}= \lim_{w\to0}\frac{(w+2k\pi)^2w^2}{\cos w-1}=-8k^2\pi^2 $$ con la sustitución obvia $z=w+2k\pi$ . Por lo tanto, estos puntos son polos de orden $2$ (con residuos $0$ ).

Si $g$ tiene un polo de orden $2$ en $z_0$ entonces $f(z)=g(z^2)$ tiene un polo de orden $4$ en $\sqrt{z_0}$ (cualquiera de las dos determinaciones): basta con sustituir en la expansión de Laurent.