¿cómo demostrar que la fórmula del centro del volumen (centroide) es incorrecta?

Question

¿Por qué la siguiente derivación es incorrecta? Porque $$ \frac{1}{2}\nabla\left(\vec{x}\cdot\vec{x}\right)=\vec{x}\cdot\nabla\vec{x}=\vec{x}, $$ el centro/centro $\vec{X^c}$ de la masa de un volumen $V$ es por el Teorema de Gauss: $$ \frac{1}{V}\iiint_V\vec{x}\,dV=\frac{1}{2V}\iiint_V\nabla\left(\vec{x}\cdot\vec{x}\right)dV=\frac{1}{2V}\iint_S\left(\vec{x}\cdot\vec{x}\right)\cdot\vec{n}\,dS $$

Sin embargo, es obvio que lo correcto es $\vec{X^c}$ es $$ X^c_i=\frac{1}{2V}\iint_Sx_i^2n_j\delta_{ij}dS $$ que no es igual a $$ \frac{1}{2V}\iint_S\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)n_idS $$

Answer 1

Una pista:

Como señala @Vlad no se puede utilizar el teorema de la divergencia porque en la integral $$ {2V}\iiint_V\nabla\left(\vec{x}\cdot\vec{x}\right)dV \qquad (1) $$ no tienes una divergencia (un escalar) sino un gradiente (un vector).

Así que la integral en $(1)$ es realmente un vector: $$ \iiint_V\nabla\left(\vec{x}\cdot\vec{x}\right)dV=\hat x_1 \iiint_V2x_1dV +\hat x_2 \iiint_V2x_2dV+\hat x_3 \iiint_V2x_3dV $$

Ahora puedes aplicar el teorema de la divergencia a las tres integrales de la derecha, donde tenemos una función escalar tal que $2x_i=\frac{d}{dx_i}x_i^2$ .... Y se encuentra el resultado correcto (y esto es esencialmente la generalización sugerida por @achillehui).

Answer 2

Hay que notar que el integrando en la siguiente ecuación contiene la función delta de dirac, $$X^c_i=\frac{1}{2V}\iint_Sx_i^2n_j\delta_{ij}dS$$

lo que sugiere que la forma explícita de la integral será así:

$$X^c_i=\frac{1}{2V}\iint_S\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & x_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & x_3^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \\ \end{array} \right)dS$$

$$X^c_i=\left( \begin{array}{c} X_1^c \\ X_2^c \\ X_3^c \\ \end{array} \right)=\frac{1}{2V}\iint_S\left( \begin{array}{c} n_1 x_1^2 \\ n_2 x_2^2 \\ n_3 x_3^2 \\ \end{array} \right)dS$$