Esta definición parece estar dado por todo el lugar (por ejemplo, Hartshorne II.8, Vakil 21.2.20, Wikipedia, McKernan de notas de la conferencia del MIT), y nunca con ninguna explicación de por qué el mapa de $\Delta : X \to X \times X$ debe tener ninguna relación con relativa diferenciales. Es esta puramente algún tipo de formal truco? Hay un significado intuitivo? Podría trabajar con otros mapas de $\Delta$, pero $\Delta$ es sólo una opción conveniente por alguna razón? Esto sólo se siente como puro vudú para mí.
Respuesta
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Tome $B$ anillo sobre otro anillo de $A$. Ver el $C = B\otimes_A B$. Deje $I$ ser el núcleo de el anillo de morfismos $C = B\otimes_A B \rightarrow B$ inducida por la multiplicación $B\times B\rightarrow B$. (Este ideal es generada por todas las $1\otimes x - x\otimes 1$$x\in B$.) Este ideal es una $B$-módulo, y tiene un $B$-submódulo $I^2$. El cociente $B$-módulo de $\Omega_{B / A}^1 = I / I^2$ es el diferenciales módulo de $A\rightarrow B$. El $\mathscr{O}_{\textrm{Spec}(B)}$-Módulo de $\Delta^{*} ( \mathscr{I} / \mathscr{I}^2 )$ pero $\widetilde{\Omega_{B / A}^1}$. Tenga en cuenta que la característica universal de $\Omega_{B / A}^1$ (en representación de las derivaciones hacia un $B$-módulo) se justifica la denominación de "la cotangente gavilla" por su doble gavilla.
Permítanme darles más detalles en el diferenciable caso. Las tres maneras diferentes se puede definir el espacio de la tangente $T_x M$ de un suave variedad diferenciable $M$ a un punto de $x$ (y luego la tangente bundle $TM$) son los siguientes :
- (1) el Uso de equivalentes clases de suaves curvas parametrizadas que pasa a través de $x$
- (2) el Uso de derivaciones en $x$
- (3) el Uso de la cotangente vectores en $x$
Lo (1), (2) y (3) tienen en común es que ellos describen el "primer orden" el comportamiento de una función suave en $M$ a nivel local en el punto de $x$. Más precisamente :
(1) La derivada de una función suave $f$ a lo largo de una curva de $c$ $c(0) = x$ depende de $c$ sólo a través de la $c'(0)$, y de hecho se recupera la derivada direccional de $f$ $x$ en la dirección $c'(0)$. Las derivadas direccionales de $f$ determinar la derivada de $f$$x$, lo que determina a su vez el primer fin de comportamiento de $f$$x$.
(2) Desde una derivación $D$ $x$ considera que sólo los valores de una función $f$ y sus derivados en $x$, puede legítimamente reemplace $f$ por un polinomio $P$ por Taylor teorema. Por la regla de Leibniz $D(P)$ sólo depende de la parte lineal de una $P$ $D(f)$ sólo depende de la primera orden de parte de $f$.
(3) Recordemos que la cotangente del paquete de $M$ $x$ es el espacio $I / I^2$ donde $I$ es el ideal que consta de (gérmenes) funciones de $f$ ${\mathscr{C}}^\infty(M,\mathbf{R})$ (definido en $x$) tal que $f(x) = 0$. Si nos imaginamos sustitución del anillo de gérmenes por un anillo de "polinomios", a continuación, $I$ representa el ideal de polinomios cuyo orden más bajo parte tiene el grado $1$ $I^2$ es el ideal de polinomios cuyo orden más bajo parte tiene el grado $2$. En este caso, $I/I^2$ es, naturalmente, identificado con el espacio lineal de los polinomios. Así, la cotangente del paquete en $x$ es en un sentido el espacio de "primer orden partes" de las funciones lisas en $M$.
La "diagonal" truco viene explícitamente en juego en (3), pero lo que quiero dejar claro en la schem contexto. Permítanme supongamos por simplicidad que $f : X \rightarrow S$. Por el abuso deje $\Delta$ denotar la imagen de la diagonal mapa en $X\times_S X$.
Siguiente Sandor Kovacs aquí (y de hecho EGA $\textrm{IV}_4$...) a partir de ahora :
Para un submanifold de un colector tiene la conocida secuencia exacta corta la conexión de la tangente paquete de la temperatura del colector restringido a la submanifold, la tangente del paquete de la submanifold y el normal bundle de que submanifold en el ambiente del colector. El geométrica explicación de por qué la definición de la cotangente gavilla a través de la conormal paquete de la diagonal en $X\times_S X$ es la de la derecha es que el paquete normal de la diagonal es isomorfo a su tangente paquete y la (co)normal grupo puede ser definido sin la tangente paquete, por lo que la tangente paquete puede ser definida como un paquete normal para este tipo de incrustación.
En la geometría algebraica se prefiere la versión dual que implican la cotangente paquetes (o cotangente poleas como me escribió inicialmente). La historia va así : la breve secuencia exacta para $\Delta\subset X\times_S X$ es :
$$ 0 \a \mathscr I/\mathscr I^2 \a \Omega_{X\times_S X/S}\otimes \mathscr O_{\Delta} \a \Omega_{\Delta/S} \a 0. $$
Ahora $\Omega_{X\times_S X/S}\simeq p_1^*\Omega_{X/S}\oplus p_2^*\Omega_{X/S}$ (donde $p_i$ $S$- proyección de a $X$) por lo que $\Omega_{X\times_S X/S}\otimes \mathscr O_{\Delta} \simeq \Omega_{\Delta/S}\oplus \Omega_{\Delta/S}$. The natural morphism $\Omega_{X\times_S X/S}\otimes \mathscr O_{\Delta} \a \Omega_{\Delta/S}$ en el de arriba breve secuencia exacta puede ser identificado con la proyección de uno de los sumandos como la restricción de cualquiera de las proyecciones a la diagonal induce un isomorfismo, que es otra manera de decir la diagonal cerrado inmersión es una $S$-sección de la $p_i$'s. Esto implica que $\mathscr I/\mathscr I^2\simeq \Omega_{\Delta/S}$. Como la diagonal de morfismos es un isomorfismo entre el$X$$\Delta$, en cualquier forma que podemos definir $\Omega_{X/S}^1$, tiene que ser isomorfo a el pull-back de $\mathscr I/\mathscr I^2$.
