¿Basta con la propiedad universal para utilizar productos tensoriales?

Question

Estoy leyendo el libro de Atiyah-Macdonald Introducción al álgebra conmutativa y me interesa la observación que hacen los autores después de detallar la construcción del producto tensorial de módulos en la p. 25:

No volveremos a necesitar la construcción del producto tensorial dada en (2.12), y el lector puede olvidarla si lo prefiere. Lo que es esencial tener en cuenta es la propiedad definitoria del producto tensorial.

Esto tiene sentido para mí, ya que siempre parece que creamos mapas de $M \otimes N$ partiendo de un mapa bilineal de $M \times N$ y utilizando la propiedad universal. Pero a veces, especialmente cuando se verifica la inyectabilidad y la subjetividad del mapa inducido, tenemos que utilizar el hecho de que $M \otimes N$ está generada por tensores puros de la forma $x \otimes y$ . Tomando la observación anterior al pie de la letra, deberíamos ser capaces de demostrar este hecho sin recurrir a la construcción de $M \otimes N$ en absoluto, pero no puedo entender cómo se puede hacer esto sólo con la propiedad universal. ¿Es esto posible, y si es así, cómo?

Answer 1

Consideremos el mapa bilineal universal

$$\beta: M \times N \rightarrow M \otimes N.$$

El tensor elemental $m \otimes n$ es sólo $\beta(m, n)$ . Por lo tanto, dejemos que $T$ denotan el subgrupo/submódulo (es lo mismo en este caso) de $M \otimes N$ generado por la imagen de $\beta$ . Claramente $\beta$ "corestritos" al mapa bilineal $$M \times N \rightarrow T.$$

Ahora sólo se observa que $T$ satisface la propiedad universal que define $M \otimes N$ . La cuestión es que cualquier mapa bilineal $\alpha: M\times N \rightarrow A$ induce de forma única un mapa lineal $M\otimes N \rightarrow A,$ y, por tanto, por restricción también $T \rightarrow A$ a través de la cual $\alpha$ factores (y la unicidad de dicho mapa es de nuevo evidente). Eso comprueba la propiedad universal para $T$ . De ello se desprende que $T=M\otimes N$ .