Cómo demostrar que una función a trozos es continua en un subintervalo

Question

Si tengo la función a trozos:

$f(x) = x+2$ cuando $x \in [0,1]$ y $x-2$ cuando $x \in [2,3]$ que se está mapeando desde $[0,1]\cup[2,3]$ a $[0,1]\cup[2,3]$

¿Cómo demuestro que la función es continua? Sí sé cómo demostrar la continuidad cuando hay una ruptura en los intervalos de las funciones. Creo que necesito mostrar los límites de un lado, pero no sé por dónde empezar. Estoy bastante confundido.

Answer 1

La continuidad es una propiedad local que significa que si dos funciones coinciden en la vecindad de un punto, si una de ellas es continua en ese punto, también lo es la otra.

En este caso tienes una función que es la unión de dos funciones continuas sobre dos intervalos cuyos cierres no se cruzan. Entonces la función es continua, porque en la vecindad de cada punto del intervalo $[0,1]$ la función coincide con $x+2$ que sabes que es continua y en la vecindad de cualquier punto de $[2,3]$ la función coincide con $x-2$ que sabes que es continua.

Al hacer el unión de dos funciones hay que comprobar que el límite de las dos funciones es el mismo en los puntos que son puntos de acumulación de los dominios de ambas funciones. En este caso los dominios son cerrados (por lo que contienen todos los puntos de acumulación) y no tienen intersección. Así que no hay que comprobar ningún límite.

Answer 2

Observe que $|f(x)-f(a)| = |x-a|, \forall a \in [0,1]\cup [2,3]$ . Por lo tanto, esto significa que usted puede tomar $\delta = \epsilon$ y la conclusión sería inmediata.