Probabilidad de una distribución uniforme

Question

Llevo dos días mirando esta solución y sigo sin entenderla. La pregunta es la siguiente:

Dado $w[i], i = 1, 2, \ldots, N$ son IID siguiendo una distribución de $U[0, \theta]$ muestran que la condición de regularidad no se cumple y, por lo tanto, el límite de Cramer Rao no se puede aplicar al problema.

Mi solución consiste, en primer lugar, en dejar que $$w[i] = x[i]$$ Donde $x[i] \sim U(0, \theta)$ y $i=1, 2, \ldots, N$

Ahora, necesito encontrar la log-verosimilitud de la función, así que primero, dejemos $\textbf{A} = \begin{bmatrix} x[1]\space x[2]\space\ldots\space x[N] \end{bmatrix}^T $

La clave de respuesta decía que $$ p(x[i];\theta) = \frac 1 \theta (u(x[i]) - u(x[i] - \theta)) $$ donde $u(x) = 1 $ cuando $x>0$ y $u(x)=0$ cuando $x<0$ .

¿Por qué la última frase es así? ¿Es porque podría expresar la distribución Uniforme como función de una función Escalonada?

Answer 1

La densidad de la distribución uniforme es $$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x<0\text{ or }x>\theta, \\[6pt] 1/\theta & \text{if } 0<x<\theta. \end{cases} $$ (Sus valores exactos en $x=0$ y en $x=\theta$ no importa).

Ahora mira $\frac1\theta(u(x)-u(x-\theta))$ .

Si $x<0$ entonces $x-\theta<0$ (ya que $\theta>0$ ) por lo que $u(x)$ y $u(x-\theta)$ son ambos $0$ .

Si $x>\theta$ entonces $x>0$ (ya que $\theta>0$ ) y $x-\theta>0$ Así que $u(x)$ y $u(x-\theta)$ son ambos $1$ .

Si $u(x)$ y $u(x-\theta)$ son ambos $0$ entonces $u(x)-u(x-\theta)$ es $0$ .

Si $u(x)$ y $u(x-\theta)$ son ambos $1$ entonces $u(x)-u(x-\theta)$ es $0$ .

Pero ahora mira lo que pasa si $0<x<\theta$ . En ese caso $x>0$ y $x-\theta<0$ Así que $u(x)=1$ y $u(x-\theta)=0$ . Por lo tanto, $u(x)-u(x-\theta)$ es $1$ .

Conclusión: $$ u(x)-u(x-\theta) = \begin{cases} 0 & \text{if }x<0\text{ or }x>\theta, \\[6pt] 1 & \text{if }0<x<\theta. \end{cases} $$

Multiplíquelo por $1/\theta$ y se tiene la función de densidad como se ha indicado anteriormente.