Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int\limits_0^1 \ln (1 + e^{nx}) dx$ .

Question

Tengo que encontrar el siguiente límite:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \displaystyle\int_0^1 \ln (1 + e^{nx}) dx$$

Seguí tratando de encontrar algo en lo que pudiera usar el Teorema del Apretón, pero no se me ocurrió nada.

Answer 1

Por un lado, es al menos $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^1\ln(e^{nx})dx=\int_0^1xdx=\frac12$ . Por otro lado, es como máximo $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^1\ln(2e^{nx})dx=\frac12+\lim_{n\to\infty}\frac{\ln 2}{n}\int_0^1dx=\frac12$ .

Answer 2

El teorema de la compresión funciona aquí. Por ejemplo, considere las desigualdades elementales: $$nx = \ln(e^{nx}) \le \ln(1 + e^{nx}) \le \ln(2e^{nx}) = \ln 2 + nx$$ El límite inferior y superior ahora son fáciles de integrar y para su secuencia $a_n$ usted tiene estimaciones $$\frac{1}{2} \le a_n \le \frac{\ln 2}{n} + \frac{1}{2}$$

Answer 3

$ln(1+e^{nx})=ln(e^{nx}(1+e^{-nx}))=ln(e^{nx})+ln(1+e^{-nx)}=nx+ln(1+e^{-nx})$ .

Por lo tanto, $\frac{1}{n}\int_0^1ln(1+e^{nx})dx=\int_0^1(x+\frac{1}{n}ln(1+e^{-nx})dx=1+\frac{1}{n}\int_0^1ln(1+e^{-nx})dx \to 1$ , como $n\to \infty$ .