¿Cómo calcular la integral en la distribución normal?

Question

La fábrica elabora productos con esta distribución normal: $\mathcal{N}(0, 25)$ . ¿Cuál debe ser el error máximo aceptado con una probabilidad de 0,90? [El resultado es 8,225 milímetros]

¿Cómo lo calculo? Cómo se integra: $\exp\left(- \frac{x^2}{2} \right)$ ?

Answer 1

Hay varios métodos para abordar esto, pero voy a utilizar uno que cumple con su requisito (aclarado en un comentario) de que hay que renunciar al uso de motores de cálculo como Mathematica En su lugar, opta por una calculadora. Además, creo que utilizar una tabla de distribución normal valores es hacer trampa, así que también renunciaré a su uso.

En primer lugar, necesitamos la ecuación de $\mathcal{N}(0,25)$ que, por definición, es: \begin {align*} f(x) &= \mathcal {N}( \mu , \sigma ^2) \\ &= \mathcal {N}(0,25) \\ &= \frac {1}{ \sigma\sqrt {2 \pi }}\,e^{ - \frac {(x- \mu )^2}{2 \sigma ^2} } \\ &= \frac {1}{5 \sqrt {2 \pi }}\,e^{- \frac {x^2}{50}} \end {align*} Ahora, simplemente tenemos que integrar esto desde $-x$ a $x$ , ajústelo igual a $.90$ y resolver para $x$ (nuestra respuesta): $$F(x) = \frac{1}{5 \sqrt{2 \pi }}\int_{-x}^x e^{-\frac{x^2}{50}} \,\mathrm{d}x=0.9$$ Sin embargo, nos encontramos con problemas cuando nos damos cuenta de que no es una integral sencilla de tomar. Como ya sabemos la respuesta, podemos aprovecharla en nuestro favor encontrando una función elemental que estima $F(x)$ con un margen de error suficientemente pequeño después de la integral. Una función sencilla que se puede utilizar para estimar $F(x)$ es una serie de Taylor.

Primero tenemos que encontrar un Serie Taylor para $f(x)$ utilizando la fórmula de una serie de Taylor: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}$$ Se puede reconocer fácilmente el patrón de nuestra función cuando $a=0$ (el centro de nuestra curva de campana) para generar esta serie: $$f(x) = \frac{1}{5 \sqrt{2 \pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{50^k k!}$$ Ahora podemos llevar trivialmente la integral de esta serie donde de otro modo no habríamos podido: $$F(x) = \frac{1}{5 \sqrt{2 \pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2 k+1}}{50^k k! (2 k+1)}$$ Como no podemos usar nuestro lápiz y papel para evaluar la serie hasta el infinito, tenemos que calcular cuántos términos tenemos que sacar para obtener una respuesta aceptablemente precisa. Esto se puede conseguir calculando el error causado por no salir hasta el infinito antes de resolver la ecuación. Introduciendo el valor ya conocido de $8.225$ para $x$ en el $k$ th término de la serie y evaluando sólo la parte de la serie de $k$ a $\infty$ , obtenemos el error que tendrá la serie de $0$ a $k-1$ . Como, de nuevo, no podemos llegar hasta el infinito, podemos obtener una ligera, pero adecuada, subestimación del error simplemente evaluando la serie desde $k$ a $k$ ya que cada término posterior de la serie es sustancialmente menor.

Empecé conectando $8.225$ para $x$ cuando $k=7$ y obtuve esto (hazlo en tu calculadora): $$\sum\limits_{k=7}^{7 } \frac{(-1)^k (8.225)^{2 k+1}}{50^k k! (2 k+1)} = -\frac{(8.225)^{15}}{59062500000000000} \approx -0.000903081$$ Como nuestra serie integrada es el equivalente a $F$ en $F(x) - F(-x) = \int_{-x}^x f(x)\,\mathrm{d}x$ donde $f(x)$ es la ecuación para $\mathcal{N}(0,25)$ tenemos que multiplicar nuestra respuesta por $2$ para obtener una estimación aproximada del error que tendrá nuestra respuesta final: $-0.000903081 \times 2 = -0.001806162$ .

Dado que buscamos una precisión de tres decimales, debemos proceder y probar la serie cuando $k=8$ : $$\sum\limits_{k=8}^{8 } \frac{(-1)^k (8.225)^{2 k+1}}{50^k k! (2 k+1)} = \frac{(8.225)^{17}}{26775000000000000000} \approx 0.000134766$$ Finalmente, $0.000134766 \times 2 = 0.000269532$ . Esto es de una precisión adecuada para nuestro cálculo final; ya que el error calculado cuando $k=8$ es aceptable, evaluaremos los términos de la serie de $k=0$ a $7$ ( $k$ utilizado en el cálculo del error menos $1$ ): $$F(x) \approx \frac{1}{5 \sqrt{2 \pi}}\sum\limits_{k=0}^{7} \frac{(-1)^k x^{2 k+1}}{50^k k! (2 k+1)}$$ Esto viene a ser: $$\frac{x-\frac{x^3}{150}+\frac{x^5}{25000}-\frac{x^7}{5250000}+\frac{x^9}{1350000000}-\frac{x^{11}}{412500000000}+\frac{x^{13}}{146250000000000}-\frac{x^{15}}{59062500000000000}}{5 \sqrt{2 \pi }}$$ Como esta es nuestra estimación de $F(x)$ y esto es un Función impar (una función es impar si $-f(x) = f(-x)$ ), basta con multiplicar esta función por $2$ para conseguir $F(x) - F(-x)$ (lo que tenemos que poner en $0.90$ y resolver): $$\frac{1}{5} \sqrt{\frac{2}{\pi}} (x-\frac{x^3}{150}+\frac{x^5}{25000}-\frac{x^7}{5250000}+\frac{x^9}{1350000000}-\frac{x^{11}}{412500000000}+\frac{x^{13}}{146250000000000}-\frac{x^{15}}{59062500000000000})$$

Ahora, al establecer esto igual a $.90$ reordenando la ecuación como un polinomio, y utilizando un método de nuestra elección para resolver polinomios en una calculadora (como Método de Newton para converger en la respuesta), encontramos que la solución relevante es: $$x \approx 8.22473 \approx 8.225$$

Answer 2

Hay varias formas de calcular la distribución normal acumulativa.

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Integración en serie simple

En primer lugar, podemos empezar con $$ e^{-x^2/2}=1-\frac{x^2}{2^1\cdot1!}+\frac{x^4}{2^2\cdot2!}-\frac{x^6}{2^3\cdot3!}+\dots $$ e integrar para obtener $$ \begin{align} \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(x-\frac{x^3}{3\cdot2^1\cdot1!}+\frac{x^5}{5\cdot2^2\cdot2!}-\frac{x^7}{7\cdot2^3\cdot3!}+\dots\right)\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)2^kk!} \end{align} $$

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Serie de poder unilateral

Para obtener una serie sin cambios de signo, escriba $$ \Omega(x)=e^{x^2/2}\int_0^xe^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t $$ y nota que $$ \Omega'(x)=1+x\Omega(x) $$ lo que conduce a la siguiente recursión para los coeficientes $$ a_{n+2}=\frac{a_n}{n+2} $$ Porque $\Omega(0)=0$ y $\Omega'(0)=1$ obtenemos $$ \begin{align} \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t &=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\Omega(x)\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!} \end{align} $$

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Expansión asintótica

Los términos de la serie convergente anterior pueden ser bastante grandes como $x$ se hace grande, así que vamos a calcular una expansión asintótica para la cola.

Considere $$ \begin{align} \int_x^\infty e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t &=\int_0^\infty e^{-(t+x)^2/2}\,\mathrm{d}t\\ &=e^{-x^2/2}\int_0^\infty e^{-xt-t^2/2}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{e^{-x^2/2}}{x}\int_0^\infty e^{-u-u^2/(2x^2)}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{e^{-x^2/2}}{x}\int_0^\infty e^{-v}u'\,\mathrm{d}v\\ \end{align} $$ donde $v=u+\dfrac{u^2}{2x^2}$ eso es, $u=x^2(\sqrt{1+2v/x^2}-1)$ . Utilizando el teorema del binomio, para expandir $\sqrt{1+2v/x^2}$ obtenemos $$ \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t \sim\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{x^{2k+1}} $$ donde $(-1)!!=1$ .

Nótese que esta serie no es convergente, sino asintótica.

Answer 3

Hay tablas que suelen acompañar a los libros de probabilidad que te dan la solución sobre un determinado intervalo, pero la integral de la distribución normal (la función gaussiana) se conoce como la función de error $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{e^{-\frac{x^2}{2}}}dx=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})+C $$

La función erf es igual a -1 en el infinito negativo, por lo que la FDA de la distribución normal estándar (σ = 1, μ = 0) es: $$ \mathrm{\Phi}(a)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(\frac{a}{\sqrt{2}})+\frac{1}2 $$