¿Puedo construir un conjunto a partir de las combinaciones lineales de los elementos de una base de $\mathcal{V}$ para formar una base para cualquier subespacio $\mathcal{W}$ ?

Question

Dejemos que $\mathcal{V}$ sea un espacio vectorial, $\mathcal{W}$ sea un subespacio de $\mathcal{V}$ y B sea el conjunto de todas las bases de $\mathcal{V}$ . Entonces:

$\forall$ $B$ $\in$ B , $\exists$ un conjunto $S$ compuesto por combinaciones lineales de $b_1, b_2, \ldots, b_n$ $\in$ $B$ $\ni$ $S$ es una base para $\mathcal{W}$ .

Digamos que selecciono una base aleatoria de $\mathcal{V}$ y algún subespacio aleatorio $\mathcal{W}$ . ¿Puedo construir un conjunto que esté compuesto por combinaciones lineales de elementos en la base de $\mathcal{V}$ para formar una base para $\mathcal{W}$ ?

Esto es lo que pienso: como todos los elementos del subespacio son también un elemento del espacio vectorial, debe ser que cualquier base del subespacio está formada por elementos que son a su vez combinaciones lineales de cualquier base del espacio vectorial.

Answer 1

Sí. Fijar una base $B$ de $V$ . Elige cualquier base $S$ de $W$ . Como cada vector base en $S$ pertenece a $V$ y como $B$ es una base para $V$ podemos expresar cada vector base en $S$ como una combinación lineal de vectores en $B$ . Por lo tanto, ha encontrado una base $S$ para $W$ que consiste en combinaciones lineales de elementos en $B$ .