Variación del término como $\frac{\partial R_{ab} R^{ab}}{\partial R_{abcd}}$ , $\frac{\partial R_{abcd} R^{abcd}}{\partial R_{efgh}}$

Question

Esto está relacionado con mi pregunta anterior Variación con respecto a $R_{abcd}$ ? Cómo calcular $\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}(g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})$ ? En este caso me gustaría calcular el tensor de Ricci \begin{align} \frac{\partial R_{ab} R^{ab}}{\partial R_{abcd}}= \end{align}

En este caso, ¿cómo puedo calcular las derivadas?

Y además para \begin{align} \frac{\partial R_{abcd} R^{abcd}}{\partial R_{efgh}} \end{align} ¿puedo utilizar los antiguos derivados? $(X^2)'= 2X$ y decir lo anterior como $2 R_{efgh}$ ?

Answer 1

Comenzamos señalando que $$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{caeb}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{cdef}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}},$$ sugiriendo una respuesta en la línea de $\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}$ . Pero por las propiedades de antisimetría del tensor de Riemann, hay más de una forma de escribir $R_{ab}$ como una contradicción de $R_{cdef}$ con un tensor.

Necesitamos una antisimetría al intercambiar $c$ con $d$ sugiriendo una respuesta en la línea de $\frac{1}{2}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}\right)$ . Pero eso tampoco puede ser del todo correcto: también necesitamos una antisimetría al intercambiar $e$ con $f$ sugiriendo una respuesta en la línea de $\frac{1}{4}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}-\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}g^{cf}+\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}g^{df}\right)$ . Pero todavía necesitamos $cdef\to efcd$ para ser una simetría, dando el resultado final

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=X_{ab}^{cdef}:=\frac{1}{8}\left(\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{d}\right)g^{ce}-\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{c}\right)g^{de}-\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{d}\right)g^{cf}+\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{c}\right)g^{df}\right).$$

Tenga en cuenta que cada término tiene $ab$ como índices inferiores y $cdef$ como índices superiores.

Por la regla del producto, $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}R^{ab}+R_{ab}\frac{\partial R^{ab}}{\partial R_{cdef}}.$$ Podemos cambiar las alturas de $a,\,b$ en el segundo término, a saber $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}.$$ Expresiones como $R^{ab}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}=g^{ce}R^{df}$ dar $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{1}{2}\left(g^{ce}R^{df}-g^{de}R^{cf}-g^{cf}R^{de}+g^{df}R^{ce}\right).$$ Tenga en cuenta que cada término tiene $cdef$ como índices superiores y $ab$ no existen en el lado derecho, ya que son índices ficticios contraídos en el lado izquierdo.

Para la segunda derivada, imaginemos que en su lugar queremos $\frac{\partial \left(V_aV^a\right)}{\partial V_b}$ para un vector; la respuesta sería $2V^b$ , sugiriendo una respuesta como $2R^{efgh}$ . Esto ya tiene las propiedades adecuadas, así que hemos terminado.

Answer 2

Del útil comentario de @J.G.,

\begin{align} \frac{\partial (R_{ab} R^{ab})}{\partial R_{cdef}} = 2 R^{ab} X^{cdef}_{ab}, \qquad X^{cdef}_{ab} = \frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}} \end{align}

Intenta calcular \begin{align} R_{\mu\nu} &= R_{abcd} g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c \\ & = \frac{1}{8} R_{abcd} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align} donde antisimétrico (a,b) y (c,d) y simétrico los pares (ab, cd), y simétrico $\mu,\nu$ en paréntesis lateral

Por lo tanto, supongo que \begin{align} X^{abcd}_{\mu\nu} =\frac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} =\frac{1}{8} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}

\begin{align} \frac{\partial R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} & = R^{a[c} g^{b]d} + R^{b[d} g^{a]c} =\frac{1}{2} \left( R^{ac} g^{bd} - R^{bc} g^{ad} - R^{ad} g^{cb} + R^{bd} g^{ca}\right) \end{align}

¿Estoy en lo cierto?