¿Delta de Dirac o función delta de Dirac?

Question

¿Es el delta de Dirac una función? ¿Cuál es su contribución al análisis?

Lo que sé de él: Es infinito en 0 y 0 en todos los demás lugares. Su integración es 1 y sé cómo viene.

Answer 1

El delta distribución no es una función de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Para cualquier dicha función $f$ que es cero excepto en un número finito de puntos, como la distribución delta, $\int f= 0$ (esto es válido tanto para la integral de riemann como para la de lebesgue). Sin embargo, $\int \delta = 1$ ...

Puede distribuir como una función que mapea funciones (bueno, más bien algunos funciones) a valores reales, es decir, como una función $\mathbb{R}^\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (ya que no puede cada a un valor real, el dominio no es realmente $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ sino un subconjunto del mismo).

La distribución delta es particularmente sencilla, sólo evalúa la función en $0$ es decir $$ \delta(f) = f(0) \text{.} $$ En lugar de $\delta(f)$ la gente suele escribir $\int f \delta$ y de esta manera se obtiene $$ \int f \delta = 0 \text{.} $$ Pero esto es sólo una notación - al igual que el $df$ y $dx$ en $\frac{df}{dx}$ no son números reales, todavía a veces puede tratarlos como si lo fueran, $\delta$ no es una función - todavía a veces se comporta como tal. Por ejemplo, puede utilizar la integración parcial para calcular $\delta'$ haciendo $$ d'(f) = \int f \delta' = - \int f' \delta \text{.} $$ Así, $\delta'$ es la distribución que, dada una función $f$ evalúa el derivado de $f$ en $0$ (y las multiplicaciones por $-1$ ), es decir, devuelve $-f'(0)$ . Esta es, de hecho, la propia definición de la derivada de una distribución btw.

Esta sintaxis también permite tratar cada función (bueno, en realidad cada función interable) $h$ como una distribución. Siguiendo el camino trazado por la notación integral de las distribuciones, se obtiene $$ h(f) = \int h f = \int h(x) f(x) \, dx \text{.} $$

Tenga en cuenta que esto le permite asignar una derivada a un montón de funciones que no son diferenciables de otra manera. Si las conviertes primero en una distribución, puedes entonces establecer $$ h'(f) = \int h' f = -\int h f' \text{.} $$ siempre que $f$ es adecuado suave.

Esto deja la cuestión de qué $f$ están realmente permitidos aquí, es decir, qué funciones son mapeadas a valores reales abiertos. Por lo general, querrás que sean diferenciables con una frecuencia arbitraria, pero eso sigue dejando múltiples opciones. Tendrás que leer la teoría de las distribuciones para entender todos los detalles.

Answer 2

Para entender mejor qué es la "función" Delta Dirac, es bueno saber qué es una distribución (pero no es necesario). Sea $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ sea un conjunto abierto y $\mathcal{D}(\Omega)=C_0^\infty(\Omega)$ . Definimos en $\mathcal{D}(\Omega)$ la siguiente noción de convergencia: decimos que $\phi_n\to 0$ en $\mathcal{D}(\Omega)$ si

I - $\operatorname{spt}(\phi_n)\subset K\subset\Omega$ , donde $K$ es un compacto fijo ( $\operatorname{spt}(\phi_n)$ es el apoyo de $\phi_n$ ),

II - Para todos $j$ , $D_j\phi_n\to 0$ uniformemente en $\Omega$ .

Denotamos por $\mathcal{D}'(\Omega)$ el conjunto de transformaciones lineales $F:\mathcal{D}(\Omega)\to\mathbb{R}$ que son continuas con respecto a la pseudo topología (la noción de convergencia) que definimos, es decir, si $\phi_n\to 0$ en $\mathcal{D}(\Omega)$ entonces $\langle T,\phi_n\rangle=T(\phi_n)\to 0$ . Llamamos a los elementos de $\mathcal{D}'(\Omega)$ distribuciones.

Ahora podemos definir la famosa "distribución" delta de Dirac. Es una distribución $\delta_{x}:\mathcal{D}(\Omega)\to\mathbb{R}$ definido por la fórmula ( $x\in\Omega$ ) $$\langle\delta_{x},\phi\rangle=\phi(x)$$

Se puede comprobar fácilmente mediante la definición que $\delta_x\in\mathcal{D}'(\Omega)$ . Además, cualquier función $u\in L^1_{loc}(\Omega)$ de fined a distribution by the formula $$\langle T_u,\phi\rangle=\int_\Omega u\phi$$

Por otro lado, podemos definir una noción de convergencia en $\mathcal{D}'(\Omega)$ A saber, $T_n\to T$ en $\mathcal{D}'(\Omega)$ si $\langle T_n,\phi\rangle\to\langle T,\phi\rangle $ . Se puede comprobar mediante esta definición que si $h_\epsilon$ es un mollificador secuencia, entonces $T_{h_\epsilon}\to \delta _x$ en el sentido de las distribuciones.

Desde el último párrafo se puede ver, por qué usullay se dice que la "función" Delta Dirac es aquella que satisface $\delta(x)=1$ , $\delta(y)=0$ si $y\neq x$ y $\int \delta(x)=1$ . Es obvio que en el sentido estándar, esto es imposible, pero si tomáramos el límite de la secuencia $h_\epsilon$ en el punto, tendríamos algo así.

También hay muchos lugares en las matemáticas donde se utiliza la distribución de Dirac, por ejemplo, se sabe que la Fundamental solución $\Gamma$ de la ecuación de Laplace satisface $-\Delta\Gamma=\delta$ en el sentido de las distribuciones, por lo tanto, si quieres resolver el problema $-\Delta u=f$ se puede escribir (al menos formalmente y con algunas suposiciones) $u=\Gamma\ast f$ , donde $\ast$ significa convolución.

Hay un montón de otras aplicaciones de esta distribución, pero este lugar es demasiado pequeño para escribirlas todas.

Answer 3

$ \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 > \end{cases}$

y que también está obligado a satisfacer la identidad $ > \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$

Por ejemplo, los objetos f(x) = δ(x) y g(x) = 0 son iguales en todas partes excepto en x = 0 y, sin embargo, tienen integrales que son diferentes. Según la teoría de integración de Lebesgue, si f y g son funciones tales que f = g en casi todas partes, entonces f es integrable si y sólo si g es integrable y las integrales de f y g son idénticas.

Se trata de una mera caracterización heurística. El delta de Dirac no es una función función en el sentido tradicional, ya que ninguna función definida en los tiene estas propiedades. La función delta de Dirac puede ser rigurosamente definida como una distribución o como una medida.

Fuente: Wikipedia