Encontrar la ecuación de un círculo y una recta tangente al círculo dadas dos puntos finales

Question

Dados los puntos finales $(11, 23)$ y $(6, 13)$ de un círculo, encuentra la ecuación del círculo y la ecuación de una recta tangente al círculo.

Primero, encontré el centro usando la fórmula del punto medio:

$$ \left(\frac{11+6}{2}, \frac{13+23}{2}\right)$$ $$\left(\frac{17}{2}, 18\right)$$

Luego encontré el radio al encontrar la distancia entre los puntos y dividir por 2:

$$\frac{\sqrt{(13 - 23)^2 + (6 - 11)^2}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$$

La ecuación:

$$(x - 17/2)^2 + (y - 18)^2 = \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2$$

¿Cómo puedo encontrar una ecuación tangente a esto? Intenté encontrar la pendiente entre $(11, 23)$ y $(6, 13)$, encontrar el recíproco negativo, y sustituir uno de los puntos en la forma de la pendiente punto, pero cuando lo grafiqué, la línea no era tangente al círculo.

Answer 1

Tal vez deberías encontrar la recta tangente en los dos puntos dados $(11, 23)$ y $(6, 13)$: Dado que son extremos de un diámetro del círculo, las pendientes de las rectas tangentes al círculo en cada punto, respectivamente, serán iguales (serán paralelas).

La pendiente de la línea que los conecta será entonces perpendicular a las rectas tangentes en esos puntos.

Encuentra la pendiente de la línea que conecta los dos puntos dados. Llámala $m$. Vemos que $m = \dfrac{23-13}{11 - 6} = 2$

La pendiente de las rectas tangentes al círculo en los puntos dados entonces será $-\dfrac 1m = -\dfrac 12$.

Luego puedes encontrar tanto la ecuación de la recta tangente al círculo en $(11, 23)$, como la ecuación de la recta tangente al círculo en $(6, 13)$, usando la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta. Por ejemplo, la tangente al círculo en $(6, 13)$ será $$y - 13 = -\dfrac 12(x - 6) \iff y = -\dfrac 12 x + 16\qquad\qquad\tag{línea tangente en $(6, 13)$}$$

De hecho, el proceso descrito anteriormente suena como lo que intentaste, así que sospecho que cometiste un error en algún lugar en tu cálculo de la pendiente, o al formar la ecuación de una de las rectas tangentes:

Graficando tanto el círculo como la ecuación de la recta dada arriba en Wolfram Alpha da como resultado esta bonita tangente al círculo

Answer 2

Las líneas tangentes más simples serían horizontales o verticales. Intenta buscar esas.

Answer 3

Como dijo vadim123, encontrar las líneas tangentes horizontales y verticales es trivial. Para encontrar cualquier línea tangente en el círculo, tome la derivada de las ecuaciones paramétricas: y divídalas para encontrar la pendiente de una línea tangente: $$y-y_1=m(x-x_1)$$ $$\frac{d}{d\theta}x=-sin(\theta)$$ $$\frac{d}{d\theta}y=cos(\theta)$$ $$m = -\frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$$

aquí $\theta$ puede ser cualquier ángulo. Para encontrar $x_1$ y $y_1$, use el mismo ángulo $\theta$ e insértelo en $x=\frac{5\sqrt{5}}{2}cos(\theta)+17/2$ y $y=\frac{5\sqrt{5}}{2}sin(\theta)+17/2$.

Answer 4

Usando la idea de vadim: Sabes que el centro está en $(17/2, 18)$, y el radio es $5\sqrt5/2$. Por lo tanto, el punto $(17/2, 18 + 5\sqrt5/2)$ está en la "parte superior" del círculo. La tangente en este punto es horizontal; es la línea $y = 18 + 5\sqrt5/2$.

Answer 5

Los acordes desde los extremos de un diámetro de un círculo hasta cualquier otro punto en el círculo forman un ángulo recto. Dos vectores no nulos están en ángulo recto entre sí si su producto punto es cero. Estos dos hechos permiten escribir inmediatamente una ecuación para un círculo dado los extremos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de un diámetro: $$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\tag{*}$$ Si necesitas poner esto en la forma más familiar $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, es simplemente cuestión de encontrar el punto medio del diámetro, como ya has hecho, y luego reorganizar (*) en consecuencia.

También puedes encontrar una ecuación de la recta tangente a este círculo casi mecánicamente: si $P=(x_p,y_p)$ es un punto en el círculo con la ecuación $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, entonces una ecuación para la tangente en $P$ es $(x_p-x_c)(x-x_c)+(y_p-y_c)(y-y_c)=r^2$. Si tu ecuación está en la forma más general $x^2+y^2+ax+by+c=0$, hay una sustitución ligeramente más complicada que puedes hacer para convertirla en una ecuación para la tangente en $P$: $$x^2\to xx_p, y^2\to yy_p, x\to\frac12(x+x_p), y\to\frac12(y+y_p).$$ (Esta sustitución, con una regla más para el término $xy$, funciona para la ecuación general de cualquier cónica, de hecho.)

De cualquier manera, dado que ya has encontrado una ecuación para tu círculo y conoces dos puntos en él, encontrar una ecuación para la tangente en cualquiera de esos puntos es simplemente cuestión de sustitución y simplificación.

---

Si te sientes cómodo trabajando con matrices, también puedes usar el hecho de que el polo de un punto en un círculo es la tangente en ese punto. Sin entrar en detalles, esto significa que una ecuación de la tangente en $P$ es $$\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&-x_c\\0&1&-y_c\\-x_c&-y_c&x_c^2+y_c^2-r^2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}=0,$$ pero esto equivale a hacer la sustitución en la ecuación del círculo que describí anteriormente. (Esto funciona para cualquier cónica, de hecho.)