Encontrando la ecuación de un círculo y una línea tangente al círculo dados dos puntos finales

Question

Dados los puntos finales $(11, 23)$ y $(6, 13)$ de un círculo, encuentra la ecuación del círculo y la ecuación de una recta tangente al círculo.

Primero, encontré el centro usando la fórmula del punto medio:

$$ \left(\frac{11+6}{2}, \frac{13+23}{2}\right)$$ $$\left(\frac{17}{2}, 18\right)$$

Luego encontré el radio calculando la distancia entre los puntos y dividiendo por 2:

$$\frac{\sqrt{(13 - 23)^2 + (6 - 11)^2}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$$

La ecuación es:

$$(x - 17/2)^2 + (y - 18)^2 = \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2$$

¿Cómo puedo encontrar una ecuación tangente a esto? Intenté encontrar la pendiente entre $(11, 23)$ y $(6, 13)$, encontrando el recíproco negativo, y sustituyendo uno de los puntos en la forma del punto-pendiente, pero cuando lo grafiqué, la recta no era tangente al círculo.

Answer 1

Tal vez deberías encontrar la recta tangente en los dos puntos dados $(11, 23)$ y $(6, 13)$: Dado que son extremos de un diámetro del círculo, las pendientes de las rectas tangentes al círculo en cada punto, respectivamente, serán iguales (serán paralelas).

La pendiente de la recta que los conecta será, por lo tanto, perpendicular a las rectas tangentes en esos puntos.

Entonces encuentra la pendiente de la recta que conecta los dos puntos dados. Llámala $m$. Vemos que $ m = \dfrac{23-10}{11 - 5} = 2$

Luego, la pendiente de las rectas tangentes al círculo en los puntos dados será $-\dfrac 1m = -\dfrac 12$.

Luego puedes encontrar tanto la ecuación de la recta tangente al círculo en $(11, 23)$ como la ecuación de la recta tangente al círculo en $(6, 13)$, usando la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta. Por ejemplo, la tangente al círculo en $(6, 13)$ será $$y - 13 = -\dfrac 12(x - 6) \iff y = -\dfrac 12 x + 16\qquad\qquad\tag{recta tangente en $(6, 13)$}$$

De hecho, el proceso mencionado anteriormente parece ser lo que intentaste, asi que sospecho que cometiste un error en algún lugar de tu cálculo de la pendiente, o al formar la ecuación de una de las rectas tangentes:

Graficando tanto el círculo como la ecuación de la recta anterior en Wolfram Alpha da como resultado esta bonita recta tangente al círculo

Answer 2

Las líneas tangentes más simples serían horizontales o verticales. Intenta buscar esas.

Answer 3

Como dijo vadim123, encontrar las rectas tangentes horizontal y vertical es trivial. Para encontrar cualquier recta tangente en el círculo, se deriva las ecuaciones paramétricas y se dividen para encontrar la pendiente de la recta tangente: $$y-y_1=m(x-x_1)$$ $$\frac{d}{d\theta}x=-sin(\theta)$$ $$\frac{d}{d\theta}y=cos(\theta)$$ $$m = -\frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}$$

aquí $\theta$ puede ser cualquier ángulo. Para encontrar $x_1$ y $y_1$, usar el mismo ángulo $\theta$ y sustituirlo en $x=\frac{5\sqrt{5}}{2}cos(\theta)+17/2$ y $y=\frac{5\sqrt{5}}{2}sin(\theta)+17/2$.

Answer 4

Usando la idea de Vadim: Sabes que el centro está en $(17/2, 18)$, y el radio es $5\sqrt5/2$. Por lo tanto, el punto $(17/2, 18 + 5\sqrt5/2)$ está en la "parte superior" del círculo. La tangente en este punto es horizontal; es la línea $y = 18 + 5\sqrt5/2$.

Answer 5

Las cuerdas desde los extremos de un diámetro de un círculo hacia cualquier otro punto en el círculo forman un ángulo recto. Dos vectores no nulos están en ángulo recto entre sí si su producto punto se anula. Estos dos hechos permiten escribir inmediatamente una ecuación para un círculo dado los extremos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de un diámetro: $$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\tag{*}$$ Si necesita poner esto en la forma más familiar $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, es suficientemente simple encontrar el punto medio del diámetro, como ya ha hecho, y luego reorganizar (*) en consecuencia.

También puede encontrar la ecuación de la recta tangente a este círculo casi mecánicamente: si $P=(x_p,y_p)$ es un punto en el círculo con ecuación $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, entonces una ecuación para la tangente en $P$ es $(x_p-x_c)(x-x_c)+(y_p-y_c)(y-y_c)=r^2$. Si su ecuación está en la forma más general $x^2+y^2+ax+by+c=0$, hay una sustitución ligeramente más complicada que puede hacer para convertirla en una ecuación para la tangente en $P$: $$x^2\to xx_p, y^2\to yy_p, x\to\frac12(x+x_p), y\to\frac12(y+y_p).$$ (Esta sustitución, con una regla más para el término $xy$, funciona para la ecuación general de cualquier cónica, de hecho.)

De cualquier manera, ya que ya ha encontrado una ecuación para su círculo y conoce dos puntos en él, encontrar una ecuación para la tangente en cualquiera de esos puntos es un asunto directo de sustitución y simplificación.

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Si se siente cómodo trabajando con matrices, también puede usar el hecho de que el polo de un punto en un círculo es la tangente en ese punto. Sin entrar en detalles, esto significa que una ecuación de la tangente en $P$ es $$\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&-x_c\\0&1&-y_c\\-x_c&-y_c&x_c^2+y_c^2-r^2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}=0,$$ pero esto equivale a hacer la sustitución en la ecuación del círculo que describí anteriormente. (Esto funciona para cualquier cónica, de hecho.)