Cómo demostrar que $(Tz)(t)=\sin(t)+\int_{0}^{t} e^{-s^2}z(se^t)ds$ es la cartografía de la contracción.

Question

Tengo problemas para probar que el mapa $(Tz)(t)=\sin(t)+\int_{0}^{t} e^{-s^2}z(se^t)ds$ es una cartografía de contracción para $t\in[0,\infty)$ . Aquí $z$ es una función continua acotada en $[0,\infty)$ .

El espacio métrico aquí es $M:=BC([0,\infty),\mathbb{R})$ con la métrica $d_\infty(x,y)=\sup\limits_{t\in[0,\infty)}|x(t)-y(t)|$ . Sé que es un espacio métrico completo con esta métrica.

$T:M\rightarrow M$ y ya he demostrado que $T(M)\subset M$

Sé que $e^{-s^2}$ está acotado en $[0,\infty)$ y así $e^{-s^2}z(se^t)$ está acotado. Pero creo que no me ayuda a demostrar que

$\lvert(Tx)(t)-(Ty)(t)\rvert\leq C\lvert x(t)-y(t)\rvert$ para todos $x,y \in BC([0,\infty),\mathbb{R})$ y $t\in[0,\infty)$

Esa es toda la información que tengo sobre el problema.

Answer 1

Lo que realmente hay que demostrar es que "existe una constante $0 \le C < 1$ tal que $d(Tx,Ty) \le Cd(x,y)$ para todos $x,y \in BC([0,\infty),\mathbb{R})$ ."

Esto equivale a demostrar que "existe una constante $0 \le C < 1$ tal que $|(Tx)(t)-(Ty)(t)| \le Cd(x,y)$ para todos $t \in [0,\infty)$ y todos $x,y \in BC([0,\infty),\mathbb{R})$ ."

La dificultad que puede tener es que la afirmación "Existe una constante $0 \le C < 1$ tal que $|(Tx)(t)-(Ty)(t)| \le C|x(t)-y(t)|$ para todos $t \in [0,\infty)$ y todos $x,y \in BC([0,\infty),\mathbb{R})$ ." es en realidad una afirmación más fuerte que lo que necesitas probar, ya que $|x(t)-y(t)|$ podría ser mucho menor que $d(x,y)$ para algunos valores de $t$ .

Para demostrar el enunciado que necesitas probar, empieza por escribir lo que $|(Tx)(t)-(Ty)(t)|$ y tratar de delimitarlo en términos de $d(x,y)$ .

\begin{align*} |(Tx)(t)-(Ty)(t)| &= \left|\left(\sin t + \int_0^te^{-s^2}x(se^t)\,ds \right) - \left(\sin t + \int_0^te^{-s^2}y(se^t)\,ds \right)\right| \\ &= \left|\int_0^te^{-s^2}x(se^t)\,ds - \int_0^te^{-s^2}y(se^t)\,ds \right| \\ &= \left|\int_0^te^{-s^2}\left(x(se^t)-y(se^t)\right)\,ds\right| \\ &\le \int_0^t\left|e^{-s^2}\left(x(se^t)-y(se^t)\right)\right|\,ds \\ &= \int_0^te^{-s^2}\left|x(se^t)-y(se^t)\right|\,ds \end{align*}

¿Puede continuar desde aquí?