Resolución de una ecuación diofantina inversa $\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} +\frac{1}{x_1 x_2 ... x_n} = 1$

Question

¿Cómo puedo demostrar que la ecuación diofantina $$\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} +\frac{1}{x_1 x_2 ... x_n} = 1$$ tiene como máximo una solución? Todo $x_i$ y $n$ son números naturales.

Mi intento fue:
Por ejemplo, considere la ecuación para $n=3$ :

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac1{x_1x_2x_3} =1$$ entonces $$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 +1 = x_1x_2x_3 \tag{1} $$ y \begin{cases} x_2x_3+1\equiv 0\pmod {x_1} \\ x_1x_3+1\equiv 0\pmod {x_2} \\ x_1x_2+1\equiv 0\pmod {x_3} \\ \end{cases} así que \begin{cases} x_2x_3=k_1x_1-1 \\ x_1x_3=k_2x_2-1 \\ x_1x_2=k_3x_3-1 \\ \end{cases} sustituyendo en (1) da como resultado $$k_1x_1 + k_2x_2 + k_3x_3 = x_1x_2x_3 + (3-1) $$ forma general será $$k_1x_1 + k_2x_2 + k_3x_3 + ... + k_nx_n = x_1x_2x_3...x_n + (n-1) $$ Sé que para resolver esto pero $x_1x_2x_3...x_n$ El término es el problema.

Answer 1

Asumiendo que quieres el número de soluciones (te has referido como raíz por lo que es un poco confuso).

Esto NO es cierto, por ejemplo si $n=5$ entonces hay $3$ soluciones.

\begin{align*} 1 & = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 43 \cdot 1807}\\ & = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{47}+\frac{1}{395}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 395}\\ & = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{23}+\frac{1}{31}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 31}\\ \end{align*}

Answer 2

Supongamos que $x_1,x_2….,x_r$ es una solución, entonces $$\frac1 x_1 + \frac1 x_2 + … + \frac 1 x_{r+1} + \frac1{x_1x_2… x_{r+1}} =\\ 1- \frac 1 {x_1 x_2 … x_r} + \frac 1 x_{r+1} + \frac1{x_1x_2… x_{r+1}} =\\ 1+\frac 1 x_{r+1}-\frac {x_{r+1}-1}{x_1x_2… x_{r+1}} = 1$$

así que $$\frac 1 x_{r+1}-\frac {x_{r+1}-1}{x_1x_2… x_{r+1}} = 0$$ $$x_{r+1} = 1+x_1x_2… x_r $$ la solución es $$x_1 = 2, x_{r+1} = 1+x_1x_2… x_r, 1\le r \le n $$ para $n =1,2$ la solución es única (independientemente de las permutaciones). para cada $n$ , $n>2$ El número de soluciones, como dijo @Anurag, no es único.