Descomposición del delta de Dirac + composición de funciones $\delta(f(x))$ en los puntos nulos extremos

Question

Una de las propiedades de la distribución de la delta de Dirac que es fácilmente demostrable y muy útil en los cálculos prácticos es la descomposición del compuesto de la delta de Dirac y una función de buen comportamiento $f$ dado por

$$\delta(f(x))=\sum_{x_i\in \mathcal{I}}\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|},$$ donde el $x_i$ son puntos nulos de la función original, es decir $$\mathcal{I}=\{x_i|f(x_i)=0\}$$

Esta fórmula funciona en la mayoría de los casos, pero falla en una clase reducida de problemas en los que $f(x)=f'(x)=0$ Y no he podido encontrar el procedimiento para continuar en ningún lugar de Internet.

Por ejemplo, queremos descomponer $\delta(x\sin(x))$ en el intervalo $x\in[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ . La función $f(x)=x\sin(x)$ se parece a esto:

Podemos ver que hay tres puntos nulos en el intervalo dado, a saber $\mathcal{I}=\{0,\pm\pi\}$ . Tomando la derivada de $f(x)$ da $f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$ . Es inmediatamente obvio que $f'(\pm\pi)\neq 0$ , por lo que no suponen un problema, pero $f'(0)=0$ por lo que la descomposición se rompe en ese punto.

Mi pregunta es: ¿Cuál es el procedimiento para tratar este tipo de funciones en las que el punto nulo es también un punto extremo (o de inflexión)? Si no existe un procedimiento estándar, ¿hay alguna manera de circunvalar el problema en el caso general (o en este caso particular)?

Answer 1

Si mi derivación es correcto, entonces, ya que $|\sin(n\pi)+n\pi\cos(n\pi)| = n\pi$ y $f''(x) = 2\cos x - x\sin x\ \Big|_{x=0} = 2$ no se desvanece en $x=0$ ,

$$\delta(x\sin x) = \frac{\delta(x)}{2\sqrt{x}} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\delta(x-n\pi)+\delta(x+n \pi)}{|n\pi|},$$

es decir, el extremo simplemente obtiene una singularidad de raíz cuadrada.