La ecuación diferencial es equivalente a $$\frac{\partial z}{\partial \phi} = \left(\frac{\partial z}{\partial \mu}\right)^{-1},$$ lo que nos da una pista de que debemos asumir una forma separable de $z$ como por ejemplo $$z = f(\phi) + g(\mu) + B,$$ donde $f$ es sólo una función de $\phi$ , $g$ es sólo una función de $\mu$ y $B$ es una constante que debe ser determinada por las condiciones iniciales en $z$ . Obsérvese que otras formas separables de $z$ también puede suponerse (como se explica a continuación). Dada esta forma de $z$ la ecuación diferencial anterior se convierte en algo mucho más fácil de manejar: \begin{align} \tag{1} \frac{\partial f}{\partial \phi} = \left(\frac{\partial g}{\partial \mu}\right)^{-1}. \end{align} En este caso, hemos omitido los argumentos de cada función para abreviar la notación. A partir de esta última ecuación, podemos elegir una expresión conveniente para $f$ para que la expresión de $g$ será sencillo. Por ejemplo, al elegir $f(\phi) = A\phi$ una elección sencilla para $g$ sería $g(\mu) = \mu/A$ para que $$\left(\frac{\partial g}{\partial \mu}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{A}\right)^{-1} = A = \frac{\partial f}{\partial \phi},$$ y la ecuación diferencial se satisface. Por lo tanto, una solución (familia) es $$z = A\phi + \frac{1}{A}\mu + B.$$ Observación. Resulta que no hay (prácticamente) ninguna otra opción posible de $f$ y $g$ . En la ecuación $(1)$ la derivada parcial de la izquierda no puede contener $\mu$ desde $f$ no es una función de $\mu$ y, del mismo modo, la derivada parcial de la derecha no puede contener $\phi$ . Por lo tanto, ninguno de los dos lados de la ecuación puede contener $\phi$ ni $\mu$ . La única manera de que la ecuación se mantenga es si $f = a\phi + b$ para algunas constantes $a$ y $b$ para que su derivada parcial no contenga $\phi$ ni $\mu$ . Asimismo, $g(\mu) = c\mu + d$ para algunas constantes $c$ y $d$ . Introduciendo estas expresiones en la supuesta forma separable de $z$ observamos que $b$ y $d$ se absorbería en $B$ y entonces deduciríamos (como acabamos de hacer arriba) que las constantes restantes son $a = 1/c$ (que da la misma respuesta que antes, utilizando las etiquetas $a = A$ y $c = 1/A$ ).
Más arriba, asumimos que $z$ tenía una forma separable aditivamente, pero también podríamos haber asumido una forma separable multiplicativamente: $$z = f(\phi)g(\mu) + B.$$ Tras un reordenamiento, la ecuación diferencial pasaría a ser $$f\frac{\partial f}{\partial \phi}\left(g\frac{\partial g}{\partial \mu}\right) = 1,$$ que nos da una pista sobre las opciones de $f$ y $g$ son convenientes. Por ejemplo, si elegimos $f(\phi) = \sqrt{2\phi}$ y $g(\mu) = \sqrt{2\mu}$ entonces $$\frac{\partial f}{\partial \phi} = \frac{1}{\sqrt{2\phi}} = \frac{1}{f},$$ e igualmente, $\partial g/\partial \mu = 1/g$ . Entonces la ecuación diferencial se satisface, y por lo tanto, $$z = 2\sqrt{\phi\mu} + B$$ también es una solución (familia). ¿Había otras opciones posibles de $f$ y $g$ ¿aquí? Dejaré que el lector interesado lo investigue.
Por cierto, su enfoque mediante la integración directa no funciona tan directamente como podría pensarse. Aunque te den una derivada parcial "aislada", debes entender su integral en el siguiente sentido:
https://math.stackexchange.com/a/606708/436135 .
Así que si te dan la ecuación $\partial z/ \partial \phi = 1$ no implica que $dz = d\phi$ porque estos símbolos no tienen sentido en este contexto. Puede trabajar con estos símbolos, si lo desea, dándoles un significado adecuado como diferenciales:
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_of_a_function .
Pero no parece útil hacer esto para el problema que nos ocupa. De hecho, si tienes una necesidad justificada de trabajar con diferenciales, seguramente lo sabrás, y en todos los demás casos, será mejor que lo evites. La interpretación de las derivadas como cocientes de diferenciales tiene una historia, que se discute aquí:
https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%27s_notation .
Como puede ver, la noción de diferencial ha evolucionado a lo largo de los siglos. Su uso moderno es variado y significativo. Sin embargo, en todas las situaciones, su maquinaria subyacente es más sofisticada que la forma en que usted intentó utilizarla.
