Número de automorfismos de los modelos saturados

Question

Tengo la siguiente pregunta de asignación: Sea $M$ ser un $L$ -modelo de cardinalidad $\kappa$ . Supongamos que $M$ está saturado. ¿Cómo puede demostrar que $|\text{Aut}(M)|=2^{|M|}$ ?

Veo dos posibles ideas/conexiones/intuiciones aquí:

1. Conjuntos definibles. Dado que $M$ está saturado, estos son finitos o de cardinalidad $\kappa$ . Entonces, ¿tal vez se pueda utilizar de alguna manera el hecho de que estos se conservan por automorfismos?

2. Tal vez algún tipo de argumento diagonal. Si tratas de capturar $\text{Aut}(M)$ con $\lambda<2^{|M|}$ automorfismos, entonces puedes demostrar que te faltará al menos uno.

Hay esta pregunta cuyo título iba a ser originalmente el mío, pero quería evitar confusiones. Aunque no responde realmente a mi pregunta, quizás la idea de mover puntos no definibles a través de automorfismos podría producir la cardinalidad requerida para $\text{Aut}(M)$ . Imagino que utilizando los conjuntos definibles finitos (creo que se llaman algebraicos, pero corregidme si me equivoco), y "permutando" los puntos fuera de estos conjuntos? Entonces quizás se convierta en un argumento de cardinalidad fácil...

Estoy pensando sobre todo en voz alta, ya que no estoy seguro de cómo concretar todas estas ideas, y ni siquiera estoy seguro de que vayan por el buen camino. ¿Ayuda?

Answer 1

He decidido escribir una respuesta, para que esta pregunta pueda ser eliminada de la lista de preguntas sin respuesta.

Primero enumerar $M = \{m_\alpha : \alpha < \kappa\}$ . Para cada $s \in 2^{<\kappa}$ construimos un automorfismo parcial $f_s$ . Es decir $f_s : M \to M$ es un mapa elemental. La idea es que estos automorfismos se extienden unos a otros ( $t \subseteq s$ implica $f_t \subseteq f_s$ ) pero $f_{s0}$ y $f_{s1}$ no están de acuerdo en algún elemento. Al final para $q \in 2^\kappa$ definimos $f_q = \bigcup_{\alpha < \kappa} f_{q|_\alpha}$ que por lo anterior es un mapa elemental bien definido y $f_q \neq f_p$ para $q \neq p \in 2^\kappa$ . También lanzamos la condición de ida y vuelta para hacer $f_q$ -s automorfismos.

Más concretamente

• Dejemos que $f_\emptyset = \emptyset$ .
• Si $\delta$ es un ordinal límite y $s \in 2^\delta$ , dejemos que $f_s = \bigcup_{\alpha < \delta} f_{s|_\alpha}$
• Si $s \in 2^{\alpha+1}$ considerar dos casos. Si $\alpha$ es un ordinal par, entonces elige $m \in M$ de índice mínimo que no está en el dominio de $f_{s|_\alpha}$ . Por selección de saturación $n_0, n_1$ en $M$ tal que $f_{si} = f_s \cup \{\langle m, n_i \rangle\}$ son elementales. Si $\alpha$ es un ordinal impar, retrocede de forma similar. Es decir, elegir $n \in M$ con el menor índice que no esté en la imagen de $f_{s|_\alpha}$ y encontrar dos elementos distintos para extender $f_{s|_\alpha}$ con.

Answer 2

Suponemos que $\mathsf{AC}$ .

Dejemos que $\kappa=|M|$ . Sea $(I,<)$ sea un orden lineal de tamaño $\kappa$ tal que para cualquier $x,y\in I$ con $x<y$ tenemos $|(x,y)|=\kappa$ Llamamos a este orden a $\kappa$ -denso; la existencia de dicho orden puede demostrarse utilizando el hecho de que $\kappa\cdot\kappa=\kappa$ en $\mathsf{AC}$ . Arreglar $A\subseteq I$ de tamaño $\kappa$ tal que su complemento es $\kappa$ -denso en $(I,<)$ es decir, siempre que $x,y\in I$ con $x<y$ entonces $|(x,y)\cap A^c|=\kappa$ .

Primero lo demostramos:

$\mathbf{Proposition \ 1.}$ Dejemos que $\mathcal M$ sea una estructura saturada de tamaño $\kappa$ con una secuencia indiscernible $(a_i)_{i\in I}$ con $(I,<)$ como en el caso anterior, entonces $|Aut(\mathcal M)|=2^\kappa$ .

$\mathbf{Proof:}$ Demostremos que cualquier función creciente $f:(a_i)_{i\in A}\rightarrow (a_i)_{i\in A}$ ; $A$ definida anteriormente, puede extenderse a algunos $\hat f\in Aut(\mathcal M)$ . Construyamos $\hat f$ utilizando el back and forward, fijar una enumeración $M=\{b_\alpha:\alpha<\kappa\}$ . $\hat f$ se construirá de tal manera que para cualquier $\alpha<\kappa$ , si $A_{\alpha}$ es el conjunto de todos los elementos $b\in M$ para lo cual $\hat f(b)$ se ha definido antes del paso $\alpha$ entonces $\hat f(b_{\alpha})$ realiza $\hat f(\mathbf{tp}(b_{\alpha}/A_\alpha))=\{\varphi(x,\hat f(\bar a)):\varphi(x,\bar a)\in \mathbf{tp}(b_\alpha/A_\alpha)\},$ esto asegurará $\hat f$ es un automorfismo de $\mathcal M$ , siempre que hagamos $\hat f$ sobre.

Supongamos que hemos definido $\hat f(b_{\beta})$ para todos $\beta<\alpha$ para algunos $\alpha<\kappa$ .

Supongamos que $b_{\alpha}\notin (a_i)_{i\in A}$ . Como $\mathcal M$ está saturado, hay algo de $a\in M$ tal que $a$ realiza $\hat f(\mathbf{tp}(b_{\alpha}/A_\alpha))$ . Si $a\notin (a_i)_{i\in A}$ , ponemos $\hat f(b_{\alpha})=a$ . Si $a=a_i'$ para algunos $i'\in A$ , elija $j\in I\setminus A$ tal que $j$ se ordena con respecto a $\{i:a_i\in A_{\alpha}\}$ de la misma manera $i'$ se ordena con respecto a $\{i:a_i\in A_{\alpha}\}$ ; $A^c$ es $\kappa$ -denso en $(I,<)$ entonces claramente $a_j$ realiza $\hat f(\mathbf{tp}(b_{\alpha}/A_\alpha))$ Así que ponemos $\hat f(b_{\alpha})=a_j$ .

Si $b_{\alpha}\in (a_i)_{i\in A}$ simplemente ponemos $\hat f(b_{\alpha})=f(b_\alpha)$ entonces $\hat f(b_\alpha)$ realiza $\hat f(\mathbf{tp}(b_{\alpha}/A_\alpha))$ debido a las suposiciones sobre $(a_i)_{i\in I}$ y $f$ y la hipótesis inductiva.

Supongamos ahora que $b_\beta$ tiene una preimagen bajo $\hat f$ para todos $\beta<\alpha$ para algunos $\alpha<\kappa$ . Hacemos una argumentación similar a la anterior, cuidando de extender $f$ para obtener una imagen previa de $b_{\alpha}$ considerando $\hat f^{-1}(\mathbf{tp}(b_{\alpha}/f[A_\alpha]))=\{\varphi(x,\bar(a)):\varphi(x,f(\bar a))\in \mathbf{tp}(b_{\alpha}/f[A_\alpha])\}$ en lugar de $\hat f(\mathbf{tp}(b_\alpha/A_\alpha))$ . Esto hace que $\hat f$ sobre.

Así, por inducción transfinita, obtenemos $\hat f\in Aut(\mathcal M)$ tal que $\hat f$ extiende $f$ . Como hay $2^{\kappa}$ muchos aumentos $f:(a_i)_{i\in A}\rightarrow (a_i)_{i\in A}$ se deduce que $|Aut(\mathcal M)|=2^{\kappa}$ .

Ahora demostremos que dicha secuencia $(a_i)_{i\in I}$ existe en cualquier saturado $\mathcal M$ .

$\mathbf{Proposition \ 2.}$ Dejemos que $\mathcal M$ sea una estructura saturada de tamaño $\kappa$ y $\mathbb I=(I,<)$ a $\kappa$ -densidad de orden lineal de tamaño $\kappa$ entonces $\mathcal M$ contiene una secuencia de indiscernibles $(a_i)_{i\in \mathbb I}$ .

$\mathbf{Proof:}$ Dejemos que $L$ sea la lengua de $\mathcal M$ . Utilizando el Teorema de Ramsey y el teorema de compacidad se puede demostrar que existe un modelo $\mathcal N$ en la lengua $L$ tal que $\mathcal N$ es elementalmente equivalente a $\mathcal M$ y tiene una secuencia de indiscernibles $(a_i)_{i\in \mathbb I}$ Este es el lema 15.3. sobre este libro . Sea $g:\kappa\rightarrow I$ sea una biyección, entonces $(a_i)_{i\in \mathbb I}=\{a_{g(i)}:i<\kappa\}$

Construyamos una secuencia $(c_i)_{i<\kappa}$ en $M$ por inducción en $i$ :

Como $\mathcal N\equiv \mathcal M$ y $\mathcal M$ está saturado, existe $c_0\in M$ , de tal manera que $c_0$ realiza $\mathbf{tp}(a_{g(0)})$ en $\mathcal M$ . Si $c_\beta$ se ha construido para todos los $\beta<\alpha$ para algunos $0<\alpha<\kappa$ , dejemos que $c_{\alpha}\in M$ sea tal que $c_\alpha$ realiza $\{\varphi(x,c_{i_0},\ldots,c_{i_n}):\varphi(x,c_{g(i_0)},\ldots,c_{g(i_n)})\in \mathbf{tp}(a_{g(\alpha)}/\{a_{g(i)}:i<\alpha\})\}$ . Entonces $\{c_{g^{-1}(i)}:i\in \mathbb I\}$ es una secuencia de indiscernibles en $\mathcal M$ .