Esta es una pregunta que se encuentra en un libro de matemáticas de nivel A.
Dada una curva
$$f(x) = \frac{\cos2x}{e^x}, 0\le x\le\pi$$
Determine el intervalo en el que $f(x)$ es cóncavo.
Según el libro de matemáticas:
La función $f(x)$ es cóncava en un intervalo dado si y sólo si $f''(x) \le 0$ por cada $x$ en ese intervalo.
También
El punto en el que una curva pasa de ser cóncava a convexa se llama punto de inflexión .
Un punto de inflexión es un punto en el que $f''(x)$ cambia de signo.
Por lo tanto, para calcular el intervalo, primero calculo la segunda derivada de $f(x)$ :
$$f''(x)=\frac{4\sin2x-3\cos2x}{e^x}$$
A partir de este punto, puedo utilizar la definición de concavidad o la definición del punto de inflexión para encontrar el intervalo.
Utilizando la definición de concavidad
Set $f''(x) \le 0$ :
$$\therefore\frac{4\sin2x-3\cos2x}{e^x} \le 0 $$ $$\because e^x > 0$$ $$\therefore4\sin2x-3\cos2x \le 0$$ $$\therefore\tan2x \le 0.75$$ Por lo tanto, la respuesta es \begin{align} 0\le &x \le-0.322\\ \pi/4\le &x \le1.892\\ 0.75\pi\le &x\le\pi\\ \end{align}
Utilizando la definición de punto de inflexión
El punto de inflexión está en $x=0.322$ y $x=1.892$ .
Y a partir de la primera derivada, se puede encontrar un mínimo local en $x=1.34$ lo que significa que la curva entre los dos puntos de inflexión es convexa.
Por lo tanto, la respuesta es \begin{align} 0\le &x \le-0.322\\ 1.892\le &x\le\pi\\ \end{align}
¿Cuál es la correcta? ¿Y por qué la otra es incorrecta?
Actualización
Creo que ambos enfoques son válidos, pero se produce un error al dividir $sin$ por $cos$ en la primera respuesta. ¿Es porque $\cos2x < 0$ cuando $0.25\pi< x <0.75\pi$ Así que $\le$ debe cambiarse por $\ge$ ? es decir
\begin{cases} \tan2x \le 0.75, &0\le x<0.25\pi \text{ and } 0.75< x<\pi\\ \tan2x \ge 0.75, &0.25\pi <x<0.75\pi\\ \end{cases}
Resolviendo esto se obtiene la segunda respuesta.
