Resuelve la ecuación: $\log_2 \left(1+ \frac{1}{a}\right) + \log_2 \left(1 +\frac{1}{b}\right)+ \log_2 \left(1 + \frac{1}{c}\right) = 2$

Question

$$ \log_2 \left(1 + \frac{1}{a}\right) + \log_2 \left(1 + \frac{1}{b}\right)+ \log_2 \left(1 + \frac{1}{c}\right) = 2 \quad \text{where $ a $, $ b $, $ c \Nen N $.} $$

Aparentemente, la respuesta es $a= 1$ , $b =2$ y $c\space = 3$ .

Cuando pregunté a mi profesor de matemáticas me dijo que la solución implicaba un poco de teoría de números, pero no recibí una explicación completa. ¿Podría alguien aclararme esto?

Edición: Me había equivocado al escribir la pregunta. La había dejado como:

$ \log_2 \left(a + \frac{1}{a}\right) + \log_2 \left(b + \frac{1}{b}\right)+ \log_2 \left(c + \frac{1}{c}\right) = 2 \quad \text{where $ a $, $ b $, $ c \Nen N $.} $

Mis disculpas por causar confusión.

Answer 1

El problema, tal y como lo has escrito, no tiene solución.

Simplificando el LHS, obtenemos $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = 4abc$$ Pero, por la desigualdad AM-GM, obtenemos $x^2+1\ge2x$ , lo que da $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \ge 8abc$$