Estoy luchando con este problema en general. Representar $\ell^1$ como el espacio de todas las funciones reales $x$ en $S = \{(m,n): m\geq 1, n \geq 1\}$ , de tal manera que $$ \|x\|_1 = \sum |x(m,n)| < \infty $$
Supongamos que $B$ es una bola unitaria con norma en $\ell^1$ y $M$ un subespacio en $\ell^1$ satisfaciendo la condición. Si $x \in \ell^1$ $x \in M$ si $$ m|x(m,1)| = \sum_{n=2}^\infty x(m,n) \;\;\;\; (m = 1, 2, 3, \ldots) $$ Necesito demostrar que el cierre débil* de $M \cap B$ no contiene ninguna bola.
Rudin ofrece una sugerencia: Si $\delta > 0$ y $m > 2/ \delta$ entonces $$ |x(m,1)| \leq \frac{\|x\|}{m} < \frac{\delta}{2} $$ si $x \in M \cap B$ aunque $x(m,1) = \delta$ para algunos $x \in \delta B$ . Así, $\delta B$ no está en el cierre débil* de $M \cap B$ . Extiende esto a las bolas con otros centros.
Ya he demostrado que el subconjunto $M$ es débil*mente denso en $\ell^1$ donde $(c_0)^* = \ell^1$ lo que intuitivamente me hace pensar lo contrario al planteamiento del problema.
Estoy muy confundido con esto en general. Sé que no tengo mucho de mi propio pensamiento aquí como típicamente lo hago, pero realmente no tengo idea con este. Cualquier ayuda es muy apreciada.
EDIT: He vuelto a intentar este problema, pero creo que no tengo el concepto correcto. Estoy añadiendo mi intento a la prueba y poner una recompensa en este problema.
Dejemos que $B$ sea la bola unitaria de norma cerrada en $\ell^1$ . Supongamos que $\delta > 0$ y $m > 2/ \delta$ entonces $$ |x(m,1)| \leq \frac{\|x\|}{m} < \frac{\delta}{2} $$ si $x \in M \cap B$ aunque $x(m,1) = \delta$ para algunos $x \in \delta B$ . Así, $\delta B$ no está en el cierre débil* de $M \cap B$ . Para extender esto a las bolas con otros centros, aplicamos un argumento similar. Consideremos $B$ una bola unitaria cerrada por la norma no centrada en $0$ en $\ell^1$ . Entonces observamos que $B$ es un desplazamiento del centro en algún radio $r>0$ . Además para $x \in B$ ahora tenemos $\|x\| \leq r+1$ ya que la bola de radio 1 ha sido ``desplazada'' por $r$ desde el centro. Entonces supongamos que $m > 2(r+1)/(\delta)$ entonces $$ |x(m,1)| \leq \frac{\|x\|}{m} < \frac{\delta}{2} $$ si $x \in M \cap B$ . Pero $x(m,1) = \delta + r$ para algunos $x \in \delta B + r$ . Por lo tanto, $\delta B$ no está en el cierre débil* de $M \cap B$ para las bolas con otros centros.
