Necesito resolver la ecuación diferencial $y'' + y' = -2xe^{-x}$ .
Esto da $\lambda^2 + \lambda = 0$ , $\Delta > 0$ por lo que la solución general es $$y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}$$
Pero, ¿y si $\Delta$ en otra ecuación diferencial es 0 o inferior a 0? No encuentro documentación para esto... Mis notas dicen que para $\Delta= 0$ , $y = e^{\lambda x}(c_1 + c_2)$ y para $\Delta < 0$ , $y = e^{ax} (c_1 \sin(bx) + c_2 \cos(bx))$ pero no sé si son correctos...
Para encontrar la integral particular, puedes hacer lo siguiente Escribe la ecuación como $(D^2+D)y=-2xe^{-x}$ .
La integral particular es entonces $$y=\frac1{D^2+D}(-2xe^{-x})=\frac1{D(D+1)}(-2xe^{-x}) =\biggl(\dfrac1D-\dfrac1{D+1}\biggr)(-2xe^{-x}).$$ Ahora $\dfrac1D(-2xe^{-x})=e^{-x}\dfrac1{D-1}(-2x)=e^{-x}\dfrac1{1-D}(2x)=e^{-x}(1+D)(2x)=e^{-x}(2x+2)$ .
También $\dfrac1{D+1}(-2xe^{-x})=e^{-x}\dfrac1D(-2x)=e^{-x}(-x^2)$ .
Así, $y=e^{-x}(2x+2)-e^{-x}(-x^2)=e^{-x}(x^2+2x+2)$ .
La función complementaria es $A+Be^{-x}$ .
Con $C=B+2$ la solución general es $y=A+e^{-x}(x^2+2x+C)$ .
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