$f$ es proyectiva si $f[f^{-1}[B]]=B$ para cada $B$

Question

Pregunta:

Dejemos que $S$ y $T$ sean conjuntos y que $f:S\to T$ . Demostrar que $f$ es una suryección de $S$ a $T$ si para cada subconjunto $B$ de $T$ , $f[f^{-1}[B]]=B$ .

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Entonces es una suryección si para cada elemento $t$ en $T$ hay un valor correspondiente $s$ en $S$ para que $f(s) = t$ ?

Así que tenemos que demostrar que

1.) $f$ es una suryección de $S$ a $T$ entonces para cada subconjunto $B$ de $T$ $f[f^{-1}[B]] = B$ .

2.) Si para cada subconjunto $B$ de $T$ , $f[f^{-1}[B]] = B$ entonces $f$ es una suryección de $S$ a $T$ .

para mostrar el bicondicional?

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1.) Por lo tanto, si $f$ es una suryección, entonces cada valor en $T$ tiene un valor en $S$ que la función mapea a ella. Dado que la inversa de una función $f:S\to T$ sería $f^{-1}: T\to S$ , enviando $S$ de nuevo en $f$ debe dar lugar a que el conjunto original sea enviado a través de la función inversa.

2.) Si enviamos $B$ a través de la inversa, y luego poner el resultado de eso de nuevo en $f$ y obtenemos $B$ de nuevo, eso significa que cada valor en $B$ tiene un valor en $S$ que se mapea a través de $f$ a $B$ . Y si $B$ es un subconjunto de $T$ entonces eso significa que cada valor en $T$ tiene un valor en $S$ que lo mapea.

No creo que tenga que ser una prueba rigurosa (normalmente esas dicen demostrar y no mostrar), así que no sé si esto es suficiente si es correcto.

Answer 1

En primer lugar, creo que es necesario aclarar la notación. Si $f:S\to T$ es una función, entonces $f^{-1}$ no denota necesariamente la inversa de $f$ , para $f$ simplemente puede no ser invertible. Así, en general, cuando se nos da sólo que $f$ es una función, hacemos un "abuso notacional", por así decirlo, y consideramos dos mapas entre los conjuntos de potencias del dominio y el codominio, a saber, $f:\mathcal{P}(S)\to \mathcal{P}(T), A\mapsto f[A]:=\{f(x)|x\in A\}$ y $f^{-1}:\mathcal{P}(T)\to \mathcal{P}(S), B\mapsto f^{-1}[B]:=\{x|f(x)\in B\}$ . Normalmente estas funciones se denotan por $f(\cdot)$ y $f^{-1}(\cdot)$ pero en su notación utiliza $f[\cdot]$ y $f^{-1}[\cdot]$ .

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Aparte de eso, conoces correctamente la definición de surjectividad y de un bicondicional.

En matemáticas, "mostrar" y "demostrar" se utilizan como sinónimos (al igual que "demostrar", etc.). De hecho, incluso cuando se da un ejemplo, también se exige que se demuestre que el ejemplo que se da funciona de la forma en que se afirma que funciona.

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Una pista: $\forall B\subseteq T: f[f^{-1}[B]]\subseteq B$ para cualquier $f$ independientemente de que sea o no surjetivo.