¿Integral doble de una función a trozos sobre un rectángulo?

Question

Dejemos que $f$ se defina en el rectángulo $R=[1,2] \times [2,4]$ de la siguiente manera:

$$ f(x,y) = \begin{cases} (x+y)^{-2}, & \text{if }x\leq y \leq 2x; > \\\\ 0, & \text{otherwise. } \end{cases} $$

Calcular el valor de la integral doble $\int\int_Rf$ .

Creo que desde $f=0$ en el segundo caso, debería ignorarlo.

Sin embargo, lo que me confunde es la condición en el primer caso. El intervalo de $y$ no es $[x,2x]$ para todos los valores de $x$ . Desde $2\leq y \leq 4$ esta condición implica que $x=2$ para este intervalo. Pero, ¿significa eso que ignoro $x\in [1,2)$ ? No estoy seguro de cómo empezar este problema.

Answer 1

La región que quieres es el interior común (intersección) de los siguientes seis semiplanos:

1. $x\ge 1$
2. $x\le 2$
3. $y\ge 2$
4. $y\le 4$
5. $y\ge x$
6. $y\le 2x$

Intenta dibujar los seis y ver qué forma obtienes.