Dos vectores con la misma proyección de la superficie normal y el mismo producto cruzado de la superficie normal, ¿son iguales?

Question

Tengo dos vectores, $\mathbf a$ y $\mathbf b$ que cumplan las siguientes condiciones:

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot \mathbf n= 0$

$(\mathbf a-\mathbf b)\times \mathbf n=\mathbf 0$

ser $\mathbf n$ una normal de superficie unitaria.

Mi pregunta es, ¿es $\mathbf a = \mathbf b$ ?

Lo he confirmado haciendo el producto cruzado en un marco de referencia para el que su primera dirección coincide con la normal de la superficie. Dado que tanto el producto punto como el producto cruz son invariantes bajo transformaciones del marco de referencia, los resultados deberían confirmarse para todos los sistemas de coordenadas. ¿Está bien este razonamiento?

Answer 1

Sí es correcto, de hecho tenemos eso

• $(\vec a-\vec b)\times \vec n=\vec 0 \implies \vec a-\vec b$ es un múltiplo de $\vec n$ es decir $\vec a-\vec b=k\vec n$
• $(\vec a-\vec b)\cdot \vec n=0 \implies \vec a-\vec b$ es ortogonal a $\vec n$ es decir $k\vec n\cdot \vec n=0 \implies k=0$

por lo tanto

$$\vec a-\vec b=\vec 0 \implies \vec a=\vec b$$

Answer 2

También podría hacerlo utilizando el hecho de que $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vert\vec{v}\rvert \lvert \vec{w} \rvert \cos\theta$ y $\lvert\vec{v} \times \vec{w}\rvert = \vert\vec{v}\rvert \lvert \vec{w} \rvert \sin\theta$ . En su caso, esto lleva a \begin{align*} (\vec{a} - \vec{b})\ \cdot \ \vec{n} = \lvert\vec{a} - \vec{b}\rvert \lvert\vec{n}\rvert \cos\theta &= 0 \\ \lvert(\vec{a} - \vec{b})\ \times \ \vec{n}\rvert = \lvert\vec{a} - \vec{b}\rvert \lvert\vec{n}\rvert \sin\theta &= 0 \end{align*} A partir de aquí, es seguro cancelar el $\lvert\vec{n}\rvert$ , ya que es la unidad normal. No podemos anular con seguridad el $\cos\theta$ o $\sin\theta$ porque estos pueden ser $0$ pero fíjese que si $\sin\theta$ = 0, entonces $\cos\theta \neq 0$ y viceversa. Por lo tanto, nos queda la conclusión de que $\lvert \vec{a} - \vec{b} \rvert = 0$ Así que $\vec{a} = \vec{b}$ .

Answer 3

Una definición del producto cruzado $v , w$ es el único elemento $v \times w$ que satisface $\langle x , v \times w \rangle = \det \begin{bmatrix} x & v & w \end{bmatrix}$ .

Dejemos que $d=a-b$ . Si $d \times n = 0$ entonces $d,n$ deben estar en la misma línea (si no, podríamos encontrar un $x$ tal que el determinante anterior sea distinto de cero). Por lo tanto, podemos escribir $d = \lambda n$ para algunos $\lambda$ .

Entonces $\langle d,n \rangle = \lambda = 0$ . Por lo tanto, $a=b$ .