Encuentre $V[4X+2]$ para el $f(x)$

Question

Para encontrar $V[4X+2]$ Lo hice $V[4X+2] = 4^2*V[X]$

Para encontrar $V[X]$ He utilizado esta fórmula:

$$\mu = 0.2*-2+0.3*2 = 0.2 \\V[X] = ((0.2*-2)^2-(0.2)^2)+(-0.2^2)+((2*0.3)^2-0.2^2) = 0.4\\ 4^2*0.4 = 6.4$$

Sin embargo, mi profesor hizo esto:

$$V[X] = E[x^2]-E[X]^2 = 2-0.2^2=2-0.04 = 1.96\\ 4^2*1.96 = 31.36$$

No entiendo nada de esto. No tiene sentido para mí. ¿De dónde sacó esa fórmula? La que nos dieron en clase de teoría fue la de la captura de pantalla. ¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Se sabe que $V[X] = E[X^{2}] - E[X]^{2}$ para cualquier variable aleatoria $X$ . Usando su definición: $$\begin{align} V[X] &= E[(X - E[X])^{2}] \\&= E\left[X^2-2XE[X]+E[X]^2\right] \\&= E[X^{2}]-E[2XE[X]] + E[E[X]^{2}] \\&= E[X^{2}]-2E[X]^{2} + E[X]^{2} \\& = E[X^{2}]-E[X]^{2} \end{align}$$ Su cálculo para $V[X]$ se equivoca. $$\begin{align} V[X] &= \sum_{x} (x - E[X])^{2} f(x) \\ & = (-2 -0.2)^{2} f(-2) + (0 - 0.2)^{2} f(0) + (2-0.2)^{2} f(2) \\ & = 4.84 \cdot 0.2 + 0.04\cdot0.5 + 3.24\cdot0.3 \\ & = 1.96 \end{align}$$

Nótese que la expectativa es lineal, lo que se deduce de la fórmula.