Cómo encontrar el valor máximo de la función $u(x,y)=x^2-y^2+x^2y^2$ y $\cfrac{\partial u}{\partial \nu}=?$

Question

Cómo encontrar el máximo de la función $u(x,y)=x^2-y^2+x^2y^2$ , $(x,y)\in \overline{B_2}(0) $ (bola cerrada de radio $2$ )

El punto crítico único es $(0,0)$ pero no es $max(u)$ . He intentado utilizar coordenadas polares pero sin resultado.

Ok segunda parte ... Digamos que encontramos $max(u)=(x_0,y_0)$ . Tenemos que calcular $\cfrac{\partial u}{\partial \nu}(x_0,y_0)$ (derivada normal exterior de $u $ en $(x_0,y_0)$ ) y esto es $\nabla u(x_0,y_0)\cdot\nu=(2x_0+2y_0^2 x_0,-2y_0+2x_0^2 y_0) \cdot\nu(x_0,y_0)$ pero cómo encontrar $\nu.$ Sería útil para mí ver cómo encontramos $\nu.$

Answer 1

Usted tiene $$\nabla u(x,y)=\bigl(2x(y^2+1),2y(x^2-1)\bigr)\ ,\tag{1}$$ y es fácil comprobar que $(0,0)$ es el único punto crítico en el interior de $B_2$ y $u(0,0)=0$ . Para hacer frente a la frontera $\partial B_2$ utilizamos la parametrización $$\partial B_2:\quad\phi\mapsto\bigl(x(\phi),y(\phi)\bigr)=(2\cos\phi,2\sin\phi)\qquad\bigl(\phi\in{\mathbb R}/(2\pi)\bigr)$$ y luego hay que analizar el pullback $$f(\phi):=u\bigl(x(\phi),y(\phi)\bigr)=4\cos^2\phi-4\sin^2\phi+16\cos^2\phi\sin^2\phi\ .$$ Obtenemos $$f(\phi) =24\cos^2\phi-16\cos^4\phi-4\tag{2}$$ y luego $$f'(\phi)=-16\cos\phi\sin\phi(3-4\cos^2\phi)\ .$$ Hay ocho ceros de $f'$ que proviene de las ecuaciones $\cos\phi=0$ , $\>\sin\phi=0$ , $\>\cos\phi=\pm{\sqrt{3}\over2}$ . Esto significa que la función $f$ definido en $(2)$ tiene ocho puntos críticos. Hay que calcular el valor de $f$ en todos estos puntos, y seleccionar el mayor de estos valores, si es $>0$ . En caso contrario, el máximo de $u$ está en el origen.

Parece que, por ejemplo, para $\phi={\pi\over6}$ tenemos un máximo. Por lo tanto, consideramos el punto $$(x_0,y_0):=\bigl(2\cos{\pi\over6},2\sin{\pi\over6}\bigr)=\bigl(\sqrt{3},1\bigr)\ .$$ Utilizando $(1)$ encontramos $$\nabla u(x_0,y_0)=\bigl(4\sqrt{3},4\bigr)\ .$$ Desde $\partial B_2$ es un círculo centrado en el origen la normal unitaria $\nu$ en $(x_0,y_0)$ no es otra cosa que $$\nu=\left(\cos{\pi\over6},\sin{\pi\over6}\right)=\left({\sqrt{3}\over2},{1\over2}\right)\ .$$ Por lo tanto, obtenemos $${\partial u\over\partial \nu}(x_0,y_0)=\langle\,\nabla u(x_0,y_0), \>\nu\,\rangle=4\sqrt{3}\cdot {\sqrt{3}\over2}+4\cdot {1\over2}=8\ .$$

Answer 2

Primero tomamos las derivadas parciales con respecto a las variables x e y y las hacemos iguales a cero: \begin {align} \frac { \partial