Teoría de la homología construida de forma homotópica-invariante

Question

La homología singular envía morfismos homotópicos sobre morfismos iguales y espacios débilmente equivalentes sobre objetos isomorfos. Así que la homología singular se define de hecho en la categoría de homotopía de los espacios topológicos.

Pero la definición habitual de homología singular es sobre la categoría de espacios topológicos, y se puede demostrar que es homotopía-invariante sólo después de haberla definido sobre la categoría de espacios topológicos.
Por ejemplo, la definición utiliza el grupo abeliano libre sobre el conjunto subyacente del espacio de singulares $n$ -símbolos, y tomar el conjunto subyacente de un espacio no tienen sentido en la categoría de homotopía.

Me gustaría tener una construcción de homología singular que se pueda llevar a cabo completamente en la categoría de homotopía.

Estaba pensando en categorizar la construcción habitual:
Tome el espectro libre ( $(\infty,1)$ equivalente de grupo abeliano?) en el espacio de n-simplexes singulares, demuestre que esto es un " $(\infty,1)$ complejo de la cadena" y calcular su " $(\infty,1)$ homología".

Pero tengo la impresión de que no funcionará tal cual, porque los simplex sólo son interesantes como espacios topológicos, no como tipos de homotopía.

¿Existe una manera de construir la homología singular (o, de hecho, cualquier teoría de la homología) directamente en la categoría de homotopía sin utilizar la categoría de espacios topológicos?

Answer 1

A lo largo de lo que sigue, diré "categoría de homotopía" cuando realmente me refiero a la categoría de homotopía débil.

Para un espacio $X$ la homología de $X$ es canónicamente isomorfo a la homología reducida de $X_+$ que es $X$ con un punto base disjunto. Por lo tanto, basta con dar una definición de la homología reducida de un espacio de base.

El producto estrella $\wedge$ desciende a una operación bien definida sobre la categoría de homotopía de los espacios topológicos de base. Para cualquier $n \geq 0$ tenemos un objeto $K(\mathbb{Z},n)$ en la categoría de homotopía, y las equivalencias débiles $K(\mathbb{Z},n) \to \Omega K(\mathbb{Z},n+1)$ que son adyacentes a los mapas $S^1 \wedge K(\mathbb{Z},n) \to K(\mathbb{Z},n+1)$ . Para cualquier número entero $m$ Por lo tanto, podemos definir un sistema dirigido de conjuntos $$ [S^{m+k}, K(\mathbb{Z},k) \wedge X ] \to [S^{m+k + 1}, K(\mathbb{Z},k+1) \wedge X ] \to \cdots $$ El colímite $colim_k \pi_{m+k}( K(\mathbb{Z},k) \wedge X)$ es isomorfo al $m$ grupo de homología reducida de $X$ de forma canónica.

Este tipo de definición produce teorías de homología generalizada, y todo esto entra en el tema de la teoría de homotopía estable.

El método que sugieres de tomar el espectro libre en este $\infty$ -dará una teoría de homología, pero en lugar de producir los grupos de homología de $X$ producirá los grupos homotópicos estables. El "grupo topológico abeliano libre" en el espacio topológico $X$ se puede utilizar en su lugar, y demostrar que da una buena noción sobre la categoría de homotopía; esto producirá la homología de $X$ como resultado del trabajo de Dold y Thom.

Answer 2

No sé qué es lo que busca, pero ésta es mi idea:

Se podría utilizar la propiedad universal de la categoría de homotopía entre "categorías superiores" de la siguiente manera: Para cualquier "categoría superior" $C$ y cualquier objeto $c$ de $C$ existe hasta el isomorfismo un functor de la categoría de homotopía de espacios - llamémoslo $H$ - a $C$ enviando el punto a $c$ . Aquí, "categorías superiores" podría significar categorías de homotopía de categorías modelo, donde los funtores que permitimos son funtores de Quillen derivados de la izquierda, o (supongo) $\infty$ -categorías.

La categoría derivada de $\mathbb Z$ es una categoría de este tipo, por lo que encontramos un functor único $F: H \rightarrow D(\mathbb Z)$ enviando el punto al complejo de la cadena $U$ que sólo tiene $\mathbb Z$ en grado $0$ . Ahora $D(\mathbb Z)$ está triangulada y podemos definir $H_{\star}(X) = [U, F(X)]_*$ para $X \in H$ . Es fácil comprobar que se trata de una teoría de homología y que tiene el comportamiento correcto en el punto. (Este enfoque también tiene la ventaja de que la fórmula de Künneth se desprende del sinsentido abstracto).

Para mí, algo así parece ser la única manera de evitar la mención de los espacios topológicos o del conjunto simplicial, ya que la categoría $H$ tiene que ser dado explícitamente o caracterizado por alguna propiedad como la anterior. Y la introducción de estructuras de "categoría superior" también parece natural, ya que no se puede definir adecuadamente una teoría de la homología en alguna categoría aleatoria; se necesita alguna estructura adicional, como las cofibras y las secuencias de fibras y la suspensión, etc.

También existe la noción de categoría de modelo algebraico (y probablemente existe la misma noción para $\infty$ -), y nuestro functor $F$ es el functor inicial de $H$ a la categoría de homotopía de una categoría algebraica modelo. De este modo, se podría considerar la homología singular como el invariante algebraico universal de un tipo de homotopía, pero esto es bastante vago.

Answer 3

Creo que su intuición de fundamentar la topología algebraica a través de métodos homotópicos es acertada, y me complace informar de que así se ha hecho en los dos trabajos:

R. Brown y P.J. Higgins, ``On the algebra of cubes'', J. Puro Appl. Algebra 21 (1981) 233-260.

R. Brown y P.J. Higgins, ``Colimit theorems for relative homotopy relativa'', J. Pure Appl. Algebra 22 (1981) 11-41.

En el espacio de menos de 60 páginas, y sin utilizar la aproximación simplificada o homología singular Estos documentos demuestran que

1. el teorema del grado de Brouwer (el $n$ -esfera $S^n$ es $(n-1)$ -y las clases de homotopía de los mapas de $S^n$ a se clasifican por un número entero llamado grado del mapa);

2. el Teorema Relativo de Hurewicz, que aquí se considera que describe el morfismo $$\pi_n(X,A,x) \to \pi_n(X \cup CA,CA,x) \cong \pi_n(X \cup CA,x)$$ cuando $(X,A)$ es $(n-1)$ -de la UE, y por lo tanto no requiere no requiere la participación habitual de los grupos de homología;

3. El teorema de Whitehead (1949) de que $ \pi_2(X \cup \{e^2_{\lambda} \},X,x)$ es una cruz libre $\pi_1(X,x)$ -módulo.

El último teorema permite, para la identificación habitual de un cuadrado $\sigma$ para dar la botella de Klein, para escribir la fórmula no abeliana:

$$ \delta \sigma = a+b -a +b.$$ El teorema de Whitehead se menciona a veces en los textos, pero rara vez se demuestra. Para más información sobre los antecedentes del teorema, véase también http://ncatlab.org/nlab/show/free+cruzado+módulo .

En realidad se tiene aquí un método para el cálculo directo de algunos homotopía $2$ -tipos como módulos cruzados.

Los antecedentes históricos y las intuiciones de este método se exponen en un documento expositivo mostrando los orígenes de la idea de grupo cúbico de homotopía superior . No es de extrañar que el método requiera una serie de ideas nuevas y que se aleje de la tradición, en particular la generalización a dimensiones superiores del grupúsculo fundamental y el Teorema de Seifert-van Kampen.

El método consiste en no empezar con un simple espacio topológico, sino con un espacio filtrado: es decir, un espacio $X$ y una secuencia creciente de subespacios $X_n, n \geqslant 0$ . Esto permite definir un complejo cruzado $\Pi X_*$ utilizando el grupúsculo fundamental de $X_1$ en el plató $X_0$ de puntos base y para $n \geqslant 2$ los grupos de homotopía relativa $\pi_n(X_n,X_{n-1},x), x \in X_0$ con las operaciones de $\pi_1$ y las operaciones de frontera estándar. El functor $\Pi$ satisface una forma del Teorema de Seifert-van Kampen, es decir, que puede calcularse en ciertas salidas (y más generalmente) de espacios filtrados. Esto da los resultados anteriores, y más. Así se obtienen nuevos cálculos no abelianos de los segundos grupos de homotopía relativa; y de los grupos de homotopía relativa superiores como módulos sobre un grupo fundamental, sin utilizar espacios de cobertura.

Sin embargo, este resultado no se demuestra directamente, sino a través de una construcción relacionada (¡y no tan trivial de establecer!) de un grupo cúbico de homotopía superior $\rho X_*$ de un espacio filtrado. El primer artículo anterior establece muchas propiedades algebraicas clave de estos artilugios. Estos grupúsculos de homotopía superior son estricto estructuras, como los grupos de homotopía relativa, por lo que un teorema de tipo colímite permite realizar cálculos precisos.

El uso de espacios filtrados puede ser una sorpresa, aunque son muy comunes. Sin embargo, Grothendieck, en la sección 5 de "Esquisse d'un programme", sostiene que para los fines de la geometría se necesitan conceptos más estructurados que un espacio topológico: le gustan las estratificaciones. Usamos espacios filtrados porque en ese contexto podemos hacer que funcionen estos groupoides estrictos de homotopía superior, y expresar intuiciones como "inversiones algebraicas a subdivisiones", para las que las teorías simpliciales o globulares no son tan adecuadas.

Este trabajo se ha desarrollado desde que se publicaron esos artículos y se han modificado algunos detalles de la exposición: un relato extenso se publica como

R. Brown, P.J. Higgins, R. Sivera, Topología algebraica no abeliana topología: espacios filtrados, complejos cruzados, homotopía cúbica groupoides , EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 páginas. (Agosto 2011). (referido a continuación como NAT).

(más detalles sobre NAT, incluido un pdf descargable) en NAT.

Los artículos anteriores y la mayor parte del libro se han escrito para que puedan ser comprobados por un estudiante de posgrado con algunos conocimientos de topología general y del groupoide fundamental, como en mi Topología y groupoides.

Tengo que dar este toque por mi trabajo con Philip (y otros) ya que la noción de Teorema de Seifert-van Kampen de Homotopía Superior no se menciona, que yo sepa, en ningún texto de topología algebraica (excepto el mío).

¡No tengo ni idea de cómo hacer un análogo de este trabajo para un topos filtrado!

Edición: 23 de abril de 2014: Debo mencionar que este trabajo desarrolla el de J.H.C. Whitehead en su originalísimo artículo de 1949 "Combinatorial Homotopy II", que introdujo los módulos libres cruzados, y también es relevante para mi respuesta a este mathoverflow pregunta.

Edición 24 de abril: Para responder a algunas dudas de Johannes, el primer paso es definir homotópicamente el complejo fundamental cruzado functor $\Pi: ($ espacios filtrados $) \to ($ complejos cruzados $)$ donde estos últimos objetos tienen analogías con los complejos de cadena pero son no abelianos en las dimensiones 1 y 2 y tienen operaciones de dimensión 1 en las dimensiones superiores, y por supuesto una serie de axiomas. Su "homología" es un grupo(oid) de dimensión 1 y módulos sobre éste en dimensiones superiores. En una filtración esquelética del complejo CW, estos módulos son la homología de las cubiertas universales en varios puntos base. Esta es una construcción bastante clásica en el caso de un solo punto base, Blakers (1948), Whitehead (1949).

Conjeturar y demostrar una serie de teoremas sobre $\Pi$ sin utilizar cadenas singulares, cuya álgebra es inadecuada para los aspectos no abelianos, utilizamos un groupoide cúbico de homotopía superior, $\rho(X_*)$ que tiene un conjunto cúbico Kan subyacente, y $n$ composiciones de grupos en dimensión $n$ . Parte del trabajo consiste en mostrar $\rho(X_*)$ contiene $\Pi(X_*)$ como subestructura, y que la primera puede recuperarse a partir de la segunda; ¡las estructuras algebraicas son equivalentes! Pero la cúbica $\rho(X_*)$ es mejor para conjeturar y demostrar teoremas de local a global. A partir de ellos se puede demostrar que para una filtración CW, $\Pi(X_*)$ es libre en cada dimensión con base los mapas característicos de las celdas.

Whitehead señala en su artículo "Combinatorial Homotopy II" (¡pero con una notación diferente!) que para una filtración CW, $\Pi(X_*)$ tiene mejores propiedades de realización que las cadenas celulares de la cubierta universal, que son complejos de cadenas con un grupo(oid) de operadores.

A continuación se añade un punto más: este enfoque evita el uso de "sumas formales", es decir, grupos abelianos libres, tal y como los introdujo Poincar'e, y los sustituye por composiciones reales, basadas en la teoría de la homotopía.

Espero que eso ayude.

27 de octubre de 2020 Espero que los siguientes comentarios ayuden a explicar mis referencias.

Mi actitud general es que nos interesan las aplicaciones particulares de la homología a los espacios. Eso significa que necesitamos calcular algo, y por tanto necesitamos información sobre el espacio. Esa información tendrá alguna estructura, por lo que tenemos que ser capaces de explotarla. En el documento 2018 se expone una metodología para ello Modelización y cálculo de los tipos de homotopía: I .

Un ejemplo es homología celular que se estudia convenientemente en términos de espacios filtrados $X_*$ que dan lugar a una definición homotópica complejo fundamental cruzado $\Pi( X_*)$ que se remonta (con diferente terminología) a A.L. Blakers (1948) y a JHC Whitehead en su artículo "Combinatorial homotopy II" (1949), donde la filtración es la filtración esquelética de un complejo CW.

Existe un Teorema de Van Kampen superior para $\Pi X_*$ que permite realizar algunos cálculos específicos y demostrar, por ejemplo, los teoremas relativos de Hurewicz. Véase el libro NAT.