¿Cómo debo pensar de B-campos?

Question

Así, los físicos como adjuntar un misterioso extra cohomology de la clase de H^2(X;C^*) para un Kahler (o hyperkahler) colector llamado "B-el campo". Lo único concreto que he visto este B-campo a hacer es cambiar el Fukaya categoría/A-branes: cuando se tiene un campo B, usted no debe tomar plana vector de paquetes en una subvariedad de Lagrange, sino aquellos cuya curvatura es el B-campo. ¿Cómo debo pensar acerca de este gadget?

Answer 1

Nos gusta hacer más que eso, en realidad. El campo B es un elemento diferencial en la cohomology de la clase $\check{H}^3(M)$ o, más geométricamente, una conexión en un abelian gerbe. Por lo tanto, existe una clase de $[H] \in H^3(M,Z)$ caracterización de la gerbe. En el B-modelo, este tuerce la derivada de la categoría. La conexión es la parte que cambia el modelo, y al $[H] = 0$, exactamente conseguir que el diferencial cohomology grupo es $H^2(X,U(1))$. En el lenguaje geométrico, es un plano de conexión en un trivial gerbe.

Answer 2

Permítanme añadir un par de palabras de explicación a Aarón comentario. Perturbativa de la teoría de cuerdas es (al menos en el nivel de la caricatura) de que se trate con la descripción de pequeñas correcciones clásica de la física gravitacional en el espacio-tiempo X. Entonces, para hacer perturbativa de la teoría de la cuerda en X, usted tiene que elegir un "fondo" de la métrica en X. Usted puede ser que necesite para elegir otros campos, pero podemos suponer por ahora esos son todos cero.

Después de haber elegido una métrica, se puede hablar de cadenas de movimiento en X. En el límite donde la longitud de la cadena va a cero, una sola cadena se verá como una partícula. ¿Qué tipo de partícula parece que dependerá de cómo se vibrando dentro de X. En particular, una cerrada cadena tiene un conjunto de estados vibracionales que a) aparecen sin masa en este límite, y b) llenar una representación R del grupo de Lorentz. Específicamente, R es la representación inducida desde el tensor de la plaza de V (x) V, donde V es el estándar de representación de que el pequeño grupo que corrige un poco de luz-como la del vector. Usted puede descomponer V en una suma de traceless simétrica cuadrada, de seguimiento, antisimétrica y traceless plaza. Los estados en el primer sumando son estados del gravitón, que representa pequeños cuántica ondulatoria de la métrica en X. Los estados en el último sumando, el antisimétrica representación, son muy pequeñas excitaciones del campo B, lo que nos hace igual a cero. (Los estados en la traza de la representación son los cuantos de la "dilaton campo".)

Así que, no le dimos el campo B el respeto que cuando empezamos, pero resulta que a parte de la definición de una cadena de fondo. Y una vez que usted sabe sobre el campo B, es fácil incluir en la acción para el sigma modelo X: Añadir a su acción el término i<[S],f*B>, donde [S] es la clase fundamental de la superficie de Riemann, y f: S -> X es la función de la incrustación de la cadena del worldsheet en X. Edit: Olvidé un factor de i=raíz(-1), que es necesaria para realizar la acción real.

Y se me olvidó mencionar que la vara de Aarón H dB.

Answer 3

Permítanme añadir un punto de vista diferente sobre el B-campos y simetría de espejo. Idealmente en la simetría de espejo, dado un Calabi-Yau colector de X, le gustaría "construir" su espejo X', donde la forma simpléctica en X debe darle la compleja estructura en X'. Como ya se ha mencionado, las clases de simpléctica los formularios de los módulos de la dimensión real de $h^{1,1}(X)$ y estructuras complejas en X' han módulos de la compleja dimensión de $h^{2,1}(X') = h^{1,1}(X)$. Así que el kahler clase no es suficiente para determinar todas las estructuras complejas en X'. En el contexto de la Strominger-Yau-Zaslow conjetura allí es una buena interpretación de la B-campo. Supongamos que X = $T^*B / \Lambda$, donde B es un buen colector y $\Lambda$ a nivel local es el lapso de más de los enteros de 1-formas $dy_1$, ..., $dy_n$ (aquí $y_1$, ..., $y_n$ son las coordenadas que cambio con transformaciones afines de un gráfico a otro). A continuación, $X$ tiene un estándar de la forma simpléctica. Podemos considerar $X'= TB / \Lambda'$ donde $\Lambda'$ es el doble de la celosía. Entonces X' tiene un complejo natural de la estructura que se define como sigue. En el estándar de las coordenadas en la TUBERCULOSIS, dada por $(y,x)$ --> $x \partial_y$, el complejo de las coordenadas en X' se $z_k = e^{2\pi i(x_k + i y_k)}$, los cuales son bien definida debido a la naturaleza de las coordenadas x e y. Pero el de arriba complejo de coordenadas puede ser torcido de forma local (en una coordenada parche) por $z_k (b) = e^{2\pi i(x_k + b_k + i y_k)}$ donde $b = (b_1, \ldots, b_n)$ es de algunos locales de datos. Pero ya en los traslapos $U_i \cap U_j$ las coordenadas tienen que coincidir, debemos tener $b(i) - b(j) \in \Lambda$. Resulta que al poner $b_{ij} = b(i) - b(j)$ en los traslapos, obtenemos un cohomology de clase en $H^{1}(B, \Lambda)$, este es el B-campo. El cohomology grupo $H^{1}(B, \Lambda)$ debe coincidir (en algunos casos al menos) con $H^2(X, R/Z)$, que es lo que Kevin Lin mencionado. La curva elíptica caso (mencionado por Kevin) puede ser visto desde este punto de vista.

Este punto de vista es también llamado "simetría de espejo sin correcciones" y sólo se aproxima a lo que sucede en compacto de Calabi-Yaus. He aprendido esto en papeles con Marca Bruto (tales como "Especial de lagrange fibrations II: geometría") o el libro "Calabi-Yau colectores y relacionados con geometrías" por Bruto, Huybrechts y Joyce.

Me interesaría saber cómo esta interpretación se conecta a la de otros que se han descrito.

Answer 4

En general, usted debe pensar acerca de B-campo en la teoría cuántica de campos como la provisión de algunos noncommutativity.

Answer 5

Sólo para complementar Aarón y A. J. comentarios: nLab:Kalb-Ramond campo