Pregunta fácil sobre la energía finita debido a la convergencia

Question

La secuencia de longitud infinita $x_1[n]$ definido por \begin{multline} x_1[n]= \begin{cases} \dfrac{1}{n}& \text{if $n \geq $1},\ 0& \text{if $n \leq $0}. \end{cases} \end{multline} tiene una energía igual a
$\mathcal{E _x {_1}} = \sum^\infty_{n=1}(\dfrac{1}{n})^{2}$
que converge a $\pi^2/6$ indicando que $x_1[n]$ tiene una energía finita.

No entiendo donde encontramos $\pi^2/6$ . Sería genial si alguien puede ayudarme.

Answer 1

La suma de las series $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}(\dfrac{1}{n})^{2}=\dfrac{\pi^2}{6}$ es un resultado clásico debido a Euler . En las respuestas a esta pregunta .

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PS. Aquí Robin Chapman recoge 14 pruebas.

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PPS. La doble integral impropia $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{1-xy}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty }\left( xy\right)^{n-1}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^2} =\dfrac{\pi^2}{6}=\zeta(2)$$ es finito, como se señala en Pruebas de EL LIBRO por Martin Aigner y Günter Ziegler. El artículo original de Tom Apostol es aquí .

Answer 2

Ya que te dedicas al procesamiento de señales, puede que te guste la demostración mediante el teorema de Parseval. He parafraseado esto en el lenguaje de procesamiento de señales de la prueba original #4 de Colección de pruebas de Robin Chapman .

Dejemos que $e_n = e^{2\pi inx}$ donde $n \in \mathbb Z$ . Sea $f(x) = x$ en el intervalo $[0,1]$ y calculamos su serie de Fourier

$$ f (x) = \sum_n a_n e^{2\pi inx}.$$

Ahora, en sus términos, el teorema de Parseval significaría que el cálculo de la energía en el dominio del tiempo es idéntico al cálculo de la energía en el dominio de la frecuencia. Para calcular la energía en el dominio del tiempo, integramos el cuadrado del valor abs. de la función, y para calcular la energía en el dominio de la frecuencia, sumamos los cuadrados de los valores abs. de los coeficientes de Fourier. Por lo tanto,

$$ \int_0^1 x^2 dx\ =\ \sum |a_n|^2$$

Como señala R. Chapman, el lado izquierdo es $1/3$ y tenemos $a_0 = 1/2$ y $a_n = 1/2\pi in$ para $n \neq 0$ . Así que lo anterior se simplifica a

$$ \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \underset{n\in \mathbb Z , n \neq 0}{\sum} \frac{1}{4\pi n^2}$$

del que se desprende el resultado.

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Por cierto, nótese aquí que el cálculo explícito no era necesario para demostrar la energía finita. La forma mucho más sencilla es observar que su señal puede estar limitada por la serie de Fourier de alguna otra señal, y luego observar que la energía de esa señal vista en el dominio del tiempo es finita.