Lema algebraico de Poincare

Question

En el libro "On the De Rham cohomology of Algebraic Varieties" de Robin Hartshorne ( http://www.numdam.org/article/PMIHES_1975__45__5_0.pdf ), en la página 53, la proposición 7.1 establece la versión algebraica del lema de Poincare. Demuestra que el complejo de Rham del anillo de polinomios $k[X_1,\ldots,X_n]$ es exacta. Esto se hace por inducción en $n$ .

No puedo entender el último paso. Al final de la página $\omega$ se supone que está libre de $dX_1$ términos. Hasta aquí está bien. Pero a continuación, se concluye que:

"Desde $d\omega=0$ tenemos $\partial f_{{i_1}\ldots {i_p}} / \partial x_1 =0$ para todos $i_1,\ldots, i_p$ . Así, los polinomios $f_{{i_1}\ldots {i_p}}$ no implican $x_1$ en absoluto".

No veo por qué las derivadas parciales se hacen cero y cómo esto concluye la prueba.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Desde $dx_1$ no aparece en $\omega$ La única manera de conseguir un $dx_1dx_{i_1}\dots dx_{i_p}$ término en $d\omega$ es de diferenciar el término $f_{i_1\dots i_p}dx_{i_1}\dots dx_{i_p}$ en $\omega$ con respecto a $x_1$ . Es decir, el coeficiente de $dx_1dx_{i_1}\dots dx_{i_p}$ en $d\omega$ es $\partial f_{{i_1}\ldots {i_p}} / \partial x_1$ . Desde $d\omega=0$ este coeficiente debe ser $0$ .

En cuanto a cómo termina la prueba, estamos usando la inducción sobre $n$ . Dado que todas las derivadas parciales $\partial f_{{i_1}\ldots {i_p}} / \partial x_1$ son $0$ y $\omega$ no implica $dx_1$ , $\omega$ no implica la variable $x_1$ en absoluto. Por lo tanto, podemos pensar en $\omega$ como $p$ -en el anillo polinómico $k[x_2,\dots,x_n]$ con una variable menos. Por la hipótesis de inducción, sabemos que el lema de Poincare es válido sobre ese anillo de polinomios. Es decir, hay algún $(p-1)$ -forma $\eta$ sobre el anillo $k[x_2,\dots,x_n]$ tal que $d\eta=\omega$ y esta ecuación seguirá siendo válida sobre $k[x_1,\dots,x_n]$ .