¿Cómo se diferencia una función en el algoritmo em?

Question

Estoy realizando el algoritmo EM. Entiendo el algoritmo y mi pregunta está más relacionada con el procedimiento de diferenciación dentro del algoritmo más que con el algoritmo en sí. Mediante el uso del algoritmo he llegado a esta función;

$Q(\pi,\pi^{m}) = (159 - \frac{250}{2+\pi^{m}})log(\pi) + 38log(1-\pi)$

Entonces, para el paso M del algoritmo;

$\frac{dQ(\pi,\pi^{m})}{d\pi} = 0$

Así que mi profesor me mostró que $\pi^{{m+1}}=(\frac{159\pi^{m}+68}{197\pi^{m}+144})$ . ¿Puede alguien mostrarme cómo mi profesor diferenció $Q(\pi,\pi^{m})$ y reordenado para encontrar $\pi^{m+1} please?$

Answer 1

Diferenciación inicial:

$0 = \frac{dQ}{d\pi} = (159 - \frac{250}{2+\pi^m}) (\frac{1}{\pi}) - 38 (\frac{1}{1-\pi})$

Multiplicando ambos lados por $\pi (1 - \pi)$ :

$0 = (159 - \frac{250}{2 + \pi^m}) (1 - \pi) - 38 \pi \\ 0 = 159 - 197 \pi - (1 - \pi) (\frac{250}{2 + \pi^m})$

Multiplicando ambos lados por $2 + \pi^m$ :

$0 = (159 - 197 \pi) (2 + \pi^m) - 250 + 250 \pi \\ 0 = -\pi (197 \pi^m + 144) + 159 \pi^m + 68$

Moviendo $\pi$ a la izquierda:

$\pi (197 \pi^m + 144) = 159 \pi^m + 68 \\ \pi = \frac{159 \pi^m + 68}{197 \pi^m +144}$

Lo que produce su parámetro para la siguiente iteración.