Una prueba directa de que para un $G$ tenemos " $G$ abeliana si todos los caracteres irreducibles son lineales"

Question

Un grupo finito es abeliano si todos sus caracteres irreducibles tienen dimensión uno (por tanto, son lineales). Una prueba común utiliza que el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación (por lo tanto $|G|$ en un grupo abeliano) y que $\sum_{i=1}^k \chi_i(1)^2 = |G|$ que para $k = |G|$ es equivalente a $\chi_i(i) = 1$ (como $\chi_i(1) \ge 1$ ) para todos los $i = 1,\ldots, k$ .

¿Existe una prueba más computacional? Siguiendo la línea, dejemos $\pi : G \to V$ sea una representación de un grupo abeliano finito con $\mbox{dim}(V) > 1$ y supongamos $1 < W < V$ entonces $\pi(g)W \le W$ ...

¿Hay alguna forma de continuar con este sentido? Quiero saber si el hecho de que los elementos de $G$ ¿podría usarse directamente en una demostración de la propiedad arriba indicada, sin usar tales teoremas de "nivel superior"?

Answer 1

$G$ abeliana implica que los irreducibles tienen dimensión 1: Dejemos que $V$ sea una representación irreducible de $G$ (necesariamente de dimensión finita). Por el lema de Schur, todo elemento $g \in G$ actúa por multiplicación por un escalar, por lo que todo subespacio de $V$ es $G$ -invariante. Por lo tanto, debemos tener $\dim V = 1$ .

Los irreductibles tienen dimensión $1$ implica $G$ abeliana: Esta es la dirección difícil, y de una forma u otra necesitas un resultado que te diga que $G$ tiene "suficientes irreducibles". Usaré el hecho de que un grupo finito $G$ actúa conjuntamente de forma fiel en sus representaciones irreducibles. Como todas ellas tienen dimensión $1$ Cada $g \in G$ actúa mediante un escalar sobre todos sus irreducibles, por lo que cada $g, h \in G$ conmutan en todos los irreducibles. Por lo tanto, conmutan.