Demuestre que si $SS=S $ entonces $S$ es un subgrupo

Question

Dejemos que $S$ sea un subconjunto finito no vacío de un grupo $G$ tal que $SS=S $ entonces $S$ es un subgrupo

En primer lugar quiero mostrar que $1 \in S $ mi idea es demostrarlo por lo absurdo. Así que supongamos $1 \notin S $ . Ahora bien, desde $S $ no está vacío, toma $s \in S =SS$ . Por lo tanto, $s=s_1 s_2 $ con $s_1,s_2$ diferente de $s$ (si no es así es fácil ver que $1\in S $ ) por lo que la idea de este razonamiento es mostrar que la única manera de que esto sea posible es que $S $ es infinito. Sin embargo, al escribir por ejemplo $s_1$ como producto de dos elementos de $S $ no hay razón para que uno de ellos no pueda ser $s $ por ejemplo. Y ese detalle me está atascando. ¿Estoy en el camino correcto? ¿Alguna otra pista o posibilidad?

Answer 1

Escribe $S=\{s_1,s_2,...,s_n\}$ con $n\geq 1$ . Desde $SS=S$ tenemos $$s_1s_1=s_{k_1}, s_1s_2=s_{k_2}, s_1s_3=s_{k_3}, ..., s_1s_n=s_{k_n}$$ donde $k_1,...,k_n\in\{1,2,..,n\}$ . El $k_i$ deben ser distintos, de lo contrario tenemos $$s_1s_i=s_1s_j$$ para algunos $i\not=j$ por lo que $s_i=s_j$ que es imposible. Entonces tenemos $$\{k_1,k_2,...,k_n\}=\{1,2,...,n\}$$ por lo que hay un $k_i$ tal que $k_i=1$ por lo que $$s_1s_i=s_1$$ que da $s_i=1$ para que $1\in S$ .

Answer 2

Su enfoque no parece que vaya a funcionar. Por ejemplo, considere el grupo $\mathbb Z/3\mathbb Z$ y el subconjunto $S=\{\bar 1,\bar 2\}$ . Entonces: $$\bar 2 = \bar 1+\bar 1$$ $$\bar 1 = \bar 2 + \bar 2.$$ En este caso, es cierto que cada elemento puede escribirse como un producto de elementos distintos de él, pero $S$ no es un subconjunto y $SS\neq S$ . Por lo tanto, no se puede terminar el argumento sólo con eso $s=s_1s_2$ para $s_1,s_2\in S\setminus \{s\}$ para cualquier $s\in S$ .

Una idea más prometedora es abandonar el argumento por contradicción y considerar, para cualquier $s\in S$ el conjunto $\{s,s^2,s^3,\ldots\}$ . Se puede demostrar primero que es un subconjunto de $S$ y, por tanto, finito. Entonces, se puede encontrar dentro de este conjunto tanto la identidad, como la inversa de $s$ .