Cómo integrar un tres productos

Question

Traté de integrar $x e^x \sin x$ utilizando la integración por partes, y el ajuste $dv/dx = e^x \sin x$ . A pesar de que me acerqué mucho, seguí malinterpretando. ¿Alguien puede resolverlo con ejercicio? Gracias de antemano.

*** EDITAR **** He encontrado la respuesta, todo gracias a aquellos que contribuyeron :) No sé si podría conectar la respuesta aquí pero la acabo de publicar abajo, ¡gracias a todos de nuevo!

Answer 1

Si no quieres probar con el cálculo complejo, puedes usar esto:

Definamos $g(x) = e^x \sin{x} $ por lo que tenemos: $J = \int x g(x) \, dx$ .

Entonces, si usas la regla de la cadena, tendrás:

$$J = x\, \int g(x) \, dx - \iint g(x) \, dx^2, $$

donde, utilizando de nuevo la regla de la cadena:

$$\int g(x) \, dx = \int e^x \sin{x} \, dx = \frac{e^x}{2} (\sin{x} - \cos{x})$$

Así:

$$\iint g(x) dx^2 = \int \frac{e^x}{2} (\sin{x} - \cos{x}) \, dx $$

donde la primera integral ya ha sido calculada. Utilizando de nuevo la regla de la cadena para la integral del coseno, se obtiene finalmente:

$$\large{ \color{blue}{ J = \frac{x}{2} e^x (\sin{x} - \cos{x} ) + \frac{e^x}{2} \cos{x} } }$$

No olvides la constante de integración. Salud.

Answer 2

Una idea general con productos de tres funciones es utilizar la regla del producto en la forma $$ (u v w)' = u' v w + u v' w + uv w' $$ y la obtención de la integración parcial en la forma $$ \int u' v w = uvw - \int u v' w - \int uv w' $$ y entonces la solución de su problema es sencilla pero tediosa.

Después de dos aplicaciones de la regla anterior (con $u=e^x$ ) y un poco de reorganización se encuentra
$$ 2 \int x e^x \sin x \, dx = xe^x \sin x - x e^x \cos x -\int e^x \sin x \, dx + \int e^x \cos x \, dx $$ y el resto es fácil.

Answer 3

Permítanme elaborar en la pista de Nigel, y btw que quería decir $e^{ix} = i \sin x +\cos x$ . No hay $\pi$ .

entonces la integral que quieres es J. define la integral $I = \int x \cos x e^x \text{d}x$ .

Entonces $I + iJ = \int x e^{ix}e^x \text{d}x = \int xe^{(i+1)x}\text{d}x$

nota $i$ es la raíz cuadrada de menos uno, por lo que es una constante, se integra por partes y se separa la parte real de la imaginaria. La parte imaginaria es lo que quieres.

Al principio quería publicar esto, pero supuse que no era lo que quería el OP.

sin embargo, sin esto, esta integral es un dolor de cabeza...

Answer 4

Pista, usando números complejos: $$ \sin(\theta) = \frac{ e^{i\theta} - e^{-i \theta} }{2i} $$

Sin números complejos: Sea $f = x$ , $g' = e^x \sin x$ .

Primero calculamos $g = \int g' dx$ por integración por partes: $$ \begin{array}{c} I = \int {{e^{ax}}\sin (bx)dx} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \sin (bx)}&{v' = {e^{ax}}}\\ {u' = b\cos (bx)}&{v = {e^{ax}}/a} \end{array}} \right]\mathop = \limits^{{\mathop{\rm int}} } \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \int {b\cos (bx)\frac{{{e^{ax}}}}{a}dx} \\ = \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \frac{b}{a}\int {\cos (bx){e^{ax}}dx} = \\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f = \cos (bx)}&{g' = {e^{ax}}}\\ {f' = - b\sin (bx)}&{g = {e^{ax}}/a} \end{array}} \right] = \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \frac{b}{a}\left( {\frac{{\cos (bx){e^{ax}}}}{a} - \frac{{ - b}}{a}\int {\sin (bx){e^{ax}}dx} } \right) = \\ = \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \frac{{b\cos (bx){e^{ax}}}}{{{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\int {\sin (bx){e^{ax}}dx} = \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \frac{{b\cos (bx){e^{ax}}}}{{{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}I \end{array}$$ Así, $$ I = \frac{{{e^{ax}}\sin (bx)}}{a} - \frac{{b\cos (bx){e^{ax}}}}{{{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}I$$ Resolver para $I$ obtenemos $$ I = \frac{{{e^{ax}}\left( {a\sin (bx) - b\cos (bx)} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C $$ así que $$ g(x) = \frac{{{e^{x}}\left( {\sin (x) -\cos (x)} \right)}}{{2}} \ . $$

Así, para resolver la integral grande hacemos de nuevo integración por partes con $f=x$ : $$ \int f g' = fg - \int f' g = x \frac{{{e^{x}}\left( {\sin (x) -\cos (x)} \right)}}{{2}} - \int \left( \frac{{{e^{x}}\left( {\sin (x) -\cos (x)} \right)}}{{2}} \right) dx $$ donde la última integral puede calcularse como en el caso anterior.

Answer 5

Una pista: $$\sin(\theta)= Im (e^{i \theta})$$ Entonces utiliza la integración por partes.