$\nabla f=0$ implica $f$ constante

Question

Para el subrayado en granate, pensaba que la existencia de derivadas parciales no implicaba que f fuera diferenciable?

Para la parte verde no puedo entender de qué teorema habla el profesor, así que tampoco sigo esta parte.

Answer 1

Ummm. Si tienes un punto $(a,b)$ en el plano, digamos, y otro $(c,d),$ el hecho de que el $x$ estancias derivadas $0$ significa que $f(a,b) = f(c,b).$ Entonces, el hecho de que el $y$ restos derivados $0$ significa que $f(c,b) = f(c,d).$ Juntos, $f(a,b) = f(c,d).$ El argumento es el mismo si el número de variables es mayor.

Ya veo, hay un comentario en este sentido de Nameless, habiendo sido borrado como respuesta. Bueno, ahí lo tienes.