Si $f_n(x) $ sea una secuencia de funciones medibles y finitas en casi todas partes sobre $[a, b] $ que es convergente en medida a $f(x)$ finita en casi todas partes y medible en [a, b]. Si $ g(x) $ es una función finita en casi todas partes y medible en $ [a, b]$ entonces $g(x)f_n(x) $ convergiendo a $f(x)g(x)$ en medida. ¿Cómo puedo demostrarlo? ¿Alguna pista?
Respuesta
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W3BGUY
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Dejemos que $N$ sea un conjunto de medida cero tal que $|g(x)|<\infty$ para todos $x\in[a,b]-N$ .
Supongamos que $f_{n}\rightarrow f$ en medida. Ahora fijamos una subsecuencia $(f_{n_{k}})$ de $(f_{n})$ . Como $f_{n_{k}}\rightarrow f$ en medida. Entonces existe una subsecuencia más $(f_{n_{k_{l}}})$ tal que $f_{n_{k_{l}}}(x)\rightarrow f(x)$ a.e.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $f_{n_{k_{l}}}(x)\rightarrow f(x)$ para todos $x\in[a,b]-N$ . Entonces también lo es $f_{n_{k_{l}}}(x)g(x)\rightarrow f(x)g(x)$ para todos esos $x$ .
Esto demuestra que $f_{n}g\rightarrow fg$ en medida.
El teorema utilizado aquí es que, en un espacio de medidas finito, una secuencia $(f_{n})$ converge a $f$ en medida si y sólo si para cada subsecuencia $(f_{n_{k}})$ de $(f_{n})$ existe una subsecuencia más $(f_{n_{k_{l}}})$ tal que $f_{n_{k_{l}}}(x)\rightarrow f(x)$ a.e.
