Interpolación sin coordenadas en una variedad riemanniana

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana, y sea $\{(p_i,y_i):p_i \in M, y_i \in \mathbb{R}\}$ sea una colección de valores reales asignados a distintos puntos de $M$ . ¿Existe alguna forma buena e independiente de las coordenadas para interpolar y encontrar una función $y:M\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $y(p_i) = y_i$ ?

Cuando $(M,g)$ es plana y $p_i$ da una triangulación, podemos interpolar linealmente en cada triángulo (de forma inequívoca, utilizando la métrica), lo que nos da un $y(p)$ en la unión de los triángulos. Por ejemplo, en $M = \mathbb{R}$ esto es sólo una interpolación lineal a trozos. El mismo procedimiento funciona con $\mathbb{R}^n$ . ¿Y si en lugar de eso $M$ ¿la esfera? El requisito "lineal" probablemente no tiene sentido, pero ¿hay alguna condición más débil que podamos tener?

Answer 1

Una opción es tomar la media ponderada de los $y_i$ 's. Puede ponderarlos de varias maneras; por ejemplo, puede asignar a cada uno $y_i$ un peso de $$\frac{1}{d(p,p_i)}$$ o puede asignar cada $y_i$ un peso de $$\frac{1}{e^{d(p,p_i)}-1}$$ donde $d$ es la distancia. Como los pesos no suelen sumar uno, tendrás que dividir por su suma para normalizar.

Cualquier cosa que se llame razonablemente interpolación será de esta forma general; la interpolación 1-d habitual corresponde a la ponderación $y_i$ por $$\frac{f(p,p_i)}{d(p,p_i)}$$ donde $f$ es $0$ si algunos $p_j$ está correctamente entre $p$ y $p_i$ y $1$ de lo contrario.

Answer 2

La respuesta a tu pregunta depende de lo que entiendas por una "buena" manera de interpolar. Sin saber más, hay cuatro enfoques sencillos

1. Elija la función con es igual a $y_i$ en $p_i$ y cero en otra parte de $M$ .
2. Si $M$ es homeomorfo/difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ resolver el problema en $\mathbb{R}^n$ y retira la solución a $M$ .
3. Siempre se puede incrustar $M$ en un lugar adecuado $\mathbb{R}^n$ , resuelve el problema allí con tu técnica de interpolación favorita para el espacio euclidiano y restringe el interpolante a tu colector incrustado. Con un poco más de detalle: Después de incrustar $M$ con un mapa $J$ digamos que tiene puntos $J(p_i)$ en $\mathbb{R}^n$ y valores $y_i$ . Se determina una función de interpolación $\hat{g}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\hat{g}(J(p_i)) = y_i$ . Entonces se define $g$ en $M$ como $g(p) = \hat{g}(J(p)).$
4. El vecino más cercano también debería funcionar. Para cualquier punto $p$ se encuentra el $p_i$ con una distancia mínima a $p$ y asignar el valor $y_i$ a $p$ .

Answer 3

Otra solución que proviene del aprendizaje semisupervisado es la regularización laplaciana; en un sentido preciso (minimización de la energía de Dirichlet), se extienden los datos de los vértices etiquetados a los vértices no etiquetados de su colector de la manera más "suave".

Si $\mathcal{O}$ designa el conjunto de observaciones (vértices en los que se dispone de una etiqueta, ya sea discreta o continua) mientras que $\mathcal{U}$ designa el conjunto en el que no hay etiquetas disponibles, entonces requerimos la minimización de $$ \text{E}(y) = \frac{1}{2} \sum_{ p,q \in \mathcal{O} \cup \mathcal{U}}{ w(p,q) ( y(p) - y(q))^2 } $$ con la condición de contorno $$ y(p_i) = y_i \ \text{, for all } p_i \in \mathcal{O} $$ donde $w$ es una función de peso, normalmente elegida como gaussiana. Es la función de afinidad que define los pesos de las aristas no negativas.

Véase, por ejemplo Redes neuronales profundas con función interpoladora como activación de salida y El laplaciano p teórico de los juegos y el aprendizaje semisupervisado con pocas etiquetas .