¿Cómo demostrar la propiedad definida positiva de la matriz semidefinida con regularización?

Question

Si tengo una matriz semidefinida positiva $A_{n\times n}$ Quiero transformarla en una matriz definida positiva. A la matriz original le aplico la siguiente operación: $$B=A+\lambda I_{n}$$ donde $\lambda > 0$ . Quiero saber si B es una matriz definida positiva. ¿Podría alguien demostrarlo?

Answer 1

Para $x\neq 0$ , $\lambda x^*x>0$ y $x^*Ax\geq0$ Así que $x^*Bx=\lambda x^*x+x^*Ax>0$ .

Answer 2

Supongamos que $\alpha\geq0 $ es un valor propio de A con su correspondiente vector propio $\vec{x}_{\alpha}$ . Entonces tenemos $B\vec{x}_{\alpha}=(A+\lambda I )\vec{x}_{\alpha}=\underbrace{(\alpha+\lambda)}_{>0}\vec{x}_{\alpha}$ . Esto significa que $\vec{x}_{\alpha}$ también es un vector propio de $B$ con el valor propio desplazado $\alpha+\lambda$ que es por contstrución mayor que $0$