No encuentro en los textos de análisis complejos la definición precisa de continuidad en $\infty$ . En particular, mi profesor dijo: todas las funciones enteras no costantes no son continuas en el infinito, ya que son ilimitadas (por Liouville). Pensé lo siguiente: tomemos el plano complejo con el punto $\infty$ es decir, la esfera de Riemann. Este es un conjunto compacto. Si f es entera no constante y supongo que $f$ para ser continua también en $\infty$ entonces $f$ debe ser continua en $\mathbb C \cup\infty$ y, a continuación, acotada (por Weierstrass). Absurdo. ¿Es correcto?
Respuesta
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Continuidad en $\infty$ suele entenderse como la continuidad en el lado opuesto de $0$ en la esfera de Riemann, eso es correcto (en general, el estudio de las funciones meromórficas, etc., tiene sentido en ese contexto, en cierto modo más que en el plano complejo solo).
No entiendo qué quieres decir con "absurdo" -- simplemente has demostrado que una función de valor complejo holomorfa en $\bf C$ y continua en $\infty$ es constante, y eso es correcto.
Esto puede no ser cierto si permite que los valores sean $\infty$ También. La identidad en toda la esfera de Riemann es ciertamente holomorfa en todas partes y no constante.
