Planteamiento del problema
Dejemos que $F(x,y)=\iint_{R_{xy}} e^{(u-1)}e^{(v^2-v)}dudv$ donde $R_{xy}$ es la región $[0,x]\times[0,y]$ . Calcular $\nabla F(1,1)$
El intento de solución
Sé que $\nabla F(1,1)=(\dfrac{\partial F(1,1)}{\partial x},\dfrac{\partial F(1,1)}{\partial y})$ .
Voy a calcular la primera derivada parcial ya que la otra se puede calcular de forma similar.
$\dfrac{\partial F (x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x} \int_0^y\int_0^x e^{(u-1)}e^{(v^2-v)}dudv$ . Ahora, no sé si el siguiente paso es legítimo:
$\dfrac{\partial}{\partial x} \int_0^y\int_0^x e^{(u-1)}e^{(v^2-v)}dudv=\int_0^y [\dfrac{\partial}{\partial x} \int_0^x e^{(u-1)}e^{(v^2-v)}du]dv$
Si este último paso fuera correcto, me gustaría saber cómo justificarlo.
Ahora, por el teorema fundamental del cálculo sé que
$\dfrac{\partial}{\partial x} \int_0^x e^{(u-1)}e^{(v^2-v)}du=e^{(x-1)}e^{(v^2-v)}$
Usando esto obtengo
$\dfrac{\partial F (x,y)}{\partial x}=\int_0^y e^{(x-1)}e^{(v^2-v)}dv=e^{(x-1)}\int_0^y e^{(v^2-v)}dv$
Aquí me he atascado, he intentado calcular esta integral pero no he podido.
¿He hecho algo mal hasta ahora y quizás por eso estoy teniendo problemas con esta integral? Agradecería alguna ayuda.
