$\sum a_{n}^{2}$ converge $\Rightarrow\sum \frac{a_{n}}{n}$ converge

Question

$\sum a_{n}^{2}$ converge $\Rightarrow\sum \frac{a_{n}}{n}$ converge.

¿alguna pista?

Answer 1

Sugerencia

utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

detalle: $$ \left(\sum_{k=1}^n \frac{|a_k|}k \right)^2 \leq \sum_{k=1}^n \frac1{k^2} \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \leq \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} \sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 $$ independientemente de $n$ .

Así que la serie es absolutamente convergente.

Answer 2

Si se trata de secuencias de números reales, observe que, para cualquier $a,b\in \mathbb{R}$ tenemos $$ 0 \leq (a-b)^2, $$ y así $$ ab \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2). $$

¿Puedes elegir $a$ y $b$ de modo que esto da $$ \frac{a_n}{n} \leq \text{stuff} $$ donde $\sum \text{stuff}$ ¿es una serie convergente?