¿Puedo utilizar una prioridad conjugada para muestras de dos distribuciones normales con la misma varianza pero diferente media?

Question

Tengo un conjunto $\{Y_t\}$ de observaciones que consta de dos subconjuntos $\{Y_{t,1}\}$ y $\{Y_{t,2}\} \subset \{Y_t\}$ con $\{Y_{t,1}\} \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)$ y $\{Y_{t,2}\} \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma^2)$ es decir medias diferentes pero la misma varianza (resultante de un modelo de cambio de régimen).

Conozco las medias y quiero sacar una muestra de $\sigma^2$ en un paso de una estimación MCMC.

En el caso de $\mu_1 = \mu_2$ Yo habría utilizado la prioridad conjugada de la distribución Gamma Inversa (véase [1], "Normal con media conocida").

¿Puedo utilizar un previo conjugado en el caso de $\mu_1 \neq \mu_2$ ¿también? Por ejemplo, estableciendo $\beta = \beta_0 + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^n(Y_i - \mu_{I_i})^2 $ ( $I_i$ siendo los índices correctos según las observaciones)?

¿O tendré que utilizar Metrópolis-Hastings para obtener mi muestra de $\sigma^2$ ?

Saludos, Matt

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior#Continuous_distributions

Answer 1

Centrar el conjunto de ${Y_t}$ (es decir ${Y_t^\ast} = {Y_t} - \mu_{I_i}$ ) no influye en la varianza. Por lo tanto, utilizando datos centrados y una prioridad Gamma Inversa $IG(\alpha_0, \beta_0)$ resulta en una posterior Gamma Inversa con parámetros $\alpha_0 + n/2$ y $\beta_0 + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^n (Y_i - \mu_{I_i})^2$ que es equivalente a su idea (aparte del $^2$ probablemente lo hayas olvidado).

Aparte de esto, no hay necesidad de utilizar la estimación MCMC cuando se tiene una expresión de forma cerrada para la posterior. Se puede simplemente extraer de la distribución mencionada, por ejemplo en R utilizando

alpha <- alpha0 + length(y_centred)/2
beta <- beta0 + sum((y_centred)^2)
sampleOfVar <- 1/rgamma(100,alpha,beta)