El valor esperado para cualquiera de los $k$ números seleccionados es $$\frac{1+\cdots + n}{n}=\frac{n+1}{2}$$ por lo que el valor esperado de la suma de $S_k$ es $$k\left(\frac{n+1}{2}\right)$$ Tenga en cuenta que "sin sustitución" o "con sustitución" no importa para esta pregunta.
Para ayudar a verlo
Supongamos primero que tomamos una muestra $k$ elementos con de reemplazo.
Entonces cada selección tiene un valor esperado $$\frac{1+\cdots + n}{n}=\frac{n+1}{2}$$ Por lo tanto, como las expectativas se suman, el valor esperado para la suma de las $k$ -la muestra de elementos es $$k\left(\frac{n+1}{2}\right)$$ A continuación, supongamos que tomamos una muestra $k$ elementos sin de reemplazo.
Entonces el primer elemento eliminado tiene el valor esperado $$\frac{1+\cdots + n}{n}=\frac{n+1}{2}$$
por lo tanto, la suma esperada de los números restantes es $$(1+\cdots + n)-\frac{n+1}{2}=(n-1)\left(\frac{n+1}{2}\right)$$ por lo que el valor esperado para una selección aleatoria de un restante $n-1$ números es $$\frac{(n-1)\left(\frac{n+1}{2}\right)}{n-1}=\frac{n+1}{2}$$ Así, el segundo número seleccionado tiene el mismo valor esperado que el primero.
Por extensión del mismo razonamiento, cada uno de los $k$ las selecciones tienen un valor esperado $$\frac{n+1}{2}$$ Por lo tanto, como las expectativas se suman, el valor esperado para la suma de las $k$ -la muestra de elementos es $$k\left(\frac{n+1}{2}\right)$$
