Cálculo multivariable doble integral a coordenadas polares

Question

La tarea consiste en anotar $\iint_D F(x,y)\mathrm dy\mathrm dx$ filas de carriles en coordenadas polares. Y la región D está definida por $x^2 + y^2 = ax,\, a > 0 $ y $x^2 + y^2 = by,\, b > 0 $ intersección.

La respuesta debería ser:

$$\int _0^{\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}\int _0^{b \sin (\gamma )}\rho F(\rho \cos (\gamma ),\rho \sin (\gamma ))\,\mathrm d\rho\mathrm d\gamma +\int _{\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi }{2}}\int _0^{a \cos (\gamma )}\rho F(\rho \cos (\gamma ),\rho \sin (\gamma ))\,\mathrm d\rho\mathrm d\gamma$$

Ahora puedo resolver todo lo demás, pero: límite superior del radio. Sé que había una solución sencilla, pero no recuerdo cuál era.

Answer 1

$x^2+y^2 = ax$ equivale a $(x-\frac{a}{2})^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ y $x^2+y^2 = by$ equivale a $x^2 + (y-\frac{b}{2})^2 = \frac{b^{2}}{4}$ . Así que tienes un círculo centrado en $(\frac{a}{2},0)$ con radio $\frac{a}{2}$ que interseca un círculo centrado en $(0,\frac{b}{2})$ con radio $\frac{b}{2}$ .

En coordenadas polares, el primer círculo tiene la ecuación $r=a\cos\gamma$ mientras que el segundo círculo tiene la ecuación $r = b\sin\gamma$ . Si haces un dibujo verás que para los ángulos entre $\gamma=0$ y el ángulo dado por el punto de intersección (que es $\arctan(a/b)$ ) el límite se encuentra en el segundo círculo, por lo que los valores de $r$ oscilan entre $0$ y $b\sin\gamma$ . Para la segunda mitad de la región, que se produce entre $\gamma=\arctan(a/b)$ y $\gamma=\pi/2$ la región está delimitada por el primer círculo, por lo que el radio oscila entre $0$ y $r=a\cos\gamma$ .

En cuanto a la forma de averiguar que $r=a\cos\gamma$ da el círculo con radio $\frac{a}{2}$ centrado en $(\frac{a}{2},0)$ multiplicando por $r$ se obtiene $r^2=ar\cos\gamma$ y sustituyendo $r^2=x^2+y^2$ y $x=r\cos\gamma$ te da la ecuación; asimismo, a partir de $x^2+y^2=by$ se obtiene $r^2 = br\sin\gamma$ Por lo tanto $r=b\sin\gamma$ .