He hecho la integración por partes y he obtenido
$$ \frac{-1}{\alpha^2} \int z^2 J J'$$
pero no tengo ni idea de cómo utilizar la ecuación de Bessel para simplificar esto, ya que sólo parece complicarse mucho más.
Respuesta
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mickep
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Llamar al integral bajo inspección para $I$ y que todos $J=J_n$ . La sustitución implica que estamos obligados a demostrar que $$ \frac{1}{\alpha^2}\int_0^\alpha z(J(z))^2\,dz=\frac{1}{2}(J'(\alpha))^2. $$ Creo que es más intuitivo empezar el trabajo desde la ecuación diferencial. En primer lugar, tenemos la ecuación de Bessel $$ z^2J''+zJ'+(z^2-n^2)J=0, $$ que se puede escribir $$ z(zJ')'=(n^2-z^2)J. $$ Ahora multiplique por $2J'$ para conseguir $$ 2(zJ')'zJ'=(n^2-z^2)2JJ', $$ o $$ ((zJ')^2)'=(n^2-z^2)(J^2)' $$ Integración de $0$ a $\alpha$ y luego por partes, obtenemos $$ \begin{aligned} \alpha^2(J'(\alpha))^2&=\int (n^2-z^2)(J^2)'\,dz\\ &=\bigl[(n^2-z^2)(J(z))^2\bigr]_0^{\alpha}+2\int_0^\alpha z(J(z))^2\,dz\\ &=2\int_0^\alpha z(J(z))^2\,dz \end{aligned} $$ y hemos terminado. Nótese que en el último paso, utilizamos que $(n^2-0^2)=0$ si $n=0$ y que $J_n(0)=0$ si $n>0$ .
